Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема ([39]). Полупростая (вещественная или комплексная) алгебра Ли аналитически достаточна. Полупростая алгебра Ли компактной группы С°°-достаточна.
Заметим, что линеаризация ростка пуассоновой структуры с полупростой линейной аппроксимацией равносильна выделению в алгебре Ли функций Гамильтона полупростого дополнения к ее радикалу — нильпотентному идеалу, состоящему из функций со вторым порядком нуля в начале координат. Поэто-
38 му линеаризуемость по модулю членов достаточно высокого порядка вытекает из теоремы Леви—Мальцева (Е. Levi), утверждающей существование такого дополнения в случае конечномерных алгебр Ли.
§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения
Подмногообразие симплектического многообразия (M2n, со) называется лагранжевым, если оно имеет размерность п и ограничение на него симплектической формы со равно нулю. Используя терминологию § 1 главы 1, можно сказать, что лаг-ранжевость подмногообразия — это лагранжевость его касательных пространств. Более общим образом, подмногообразие симплектического многообразия называется iKo)изотропным1\ если таковы его касательные пространства.
4.1. Примеры лагранжевых многообразий. 1) Гладкая кривая на симплектической поверхности — лагранжева. Гладкая кривая на симплектическом многообразии изотропна, а гиперповерхность — коизотропна.
2) Пусть М = Т*Х, а—1-форма действия на М, co = ufa — каноническая симплектическая структура. 1-форма на многообразии сопоставляет точке многообразия ковектор в этой точке. Назовем графиком 1-формы совокупность этих ковекторов. График замкнутой 1-формы на X — лагранжево подмногообразие в М. Действительно, ограничение симплектической формы сo = d(pdq) на график 1-формы | : q р(q) равно d(p(q)dq) ==d% = Q, если I — замкнута. Обратно, лагранжево подмногообразие в М, однозначно проектирующееся на базу, является графиком замкнутой 1-формы на X. Если эта 1-форма точна, ? = с?<р, ее потенциал <р называется производящей функцией лагранжева подмногообразия. Этот пример подсказывает определение обобщенной функции на X как произвольного лагранжева подмногообразия в Т*Х. Слой кокасательного расслоения тоже лагранжев и соответствует «дельта-функции» точки приложения. Более общим образом, ковекторы, приложенные в точках подмногообразия YczX и обращающиеся в нуль на касательных к Y векторах, образуют лагранжево подмногообразие в Т*Х — «дельта-функцию» подмногообразия У.
3) Локально гамильтоново векторное поле на симплектическом многообразии M является лагранжевым подмногообразием в касательном расслоении TM, симплектическая структура которого задается его отождествлением / : Т*М->-ТМ с кокаса-тельным расслоением. Производящая функция такого лагранжева многообразия — гамильтониан поля.
4) Пусть задан симплектоморфизм у : (Мь соі)-*-(М2, шг). Обозначая через л і и л2 проекции прямого произведения M1X
Коизотропные подмногообразия называют еще инволютивными.
39 XM2 на первый и второй сомножители, определим на нем сим-плектическую структуру яі*соі—л2*(о2. Тогда график ГсгМіХ-Мг симплектоморфизма у — лагранжево подмногообразие.
Эти примеры иллюстрируют общий принцип: объекты симплектической геометрии изображаются лагранжевыми многообразиями.
Из относительной теоремы Дарбу II (п. 1.5.) получаем
Следствие. Достаточно малая окрестность лагранжева подмногообразия симплектоморфна окрестности нулевого сечения в его кокасательном расслоении.
Коранг ограничения симплектической формы на (ко)изотропное подмногообразие равен его (ко)размерности и потому постоянен. Следовательно (см. п. 1.1, гл. 2), росток (ко) изотропного подмногообразия в подходящих координатах Дарбу приводится к линейной нормальной форме п. 1.2, гл. 1.
Симплектический тип изотропного подмногообразия NkCi CzM2n в своей трубчатой окрестности взаимно однозначно определяется классом эквивалентности следующего 2(п—k)-мерного симплектического векторного расслоения с базой Nk: слоем этого расслоения в точке х является факторпространство косоортогонального дополнения к касательному пространству TxN посамому пространству TxN. Это вытекает из результатов п. 1.5.
Если функция Гамильтона постоянна на изотропном подмногообразии, то его сдвиги потоком этой функции заметают изотропное подмногообразие. Коизотропное подмногообразие на поверхности уровня функции Гамильтона инвариантно относительно ее потока. Эти утверждения вытекают из того, что одномерное ядро ограничения симплектической формы на гиперповерхность уровня функции Гамильтона совпадает с направлением вектора гамильтонова поля. Свойства такого рода будут часто использоваться в дальнейшем без специальных оговорок.
4.2. Лагранжевы расслоения. Лагранжевым расслоением называется гладкое локально тривиальное расслоение симплектического многообразия, все слои которого лагранжевы.
Пример. Кокасательное расслоение лагранжево.
Напомним, что аффинная структура на многообразии задается атласом, у которого функции перехода от одной карты к другой являются аффинными преобразованиями координатного пространства (параллельными переносами, линейными преобразованиями или их композициями).
