Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1.5. Внешняя геометрия подмногообразий. Мы приводим глобальные аналоги предыдущих теорем.
Относительная теорема Дарбу II. Пусть УИ —четно-мерное многообразие, Azp-HoflMHorooepasHe, со0, M1-две сим-плектические структуры на М, ограничения которых на N совпадают. Предположим, что ю0 и W1 непрерывно деформируются друг в друга в классе симплектических структур на М, совпадающих с ними на N. Тогда существуют окрестности U0 и CJх подмногообразия N в M и диффеоморфизм g: U0->-U1, тождественный на N, который переводит W1^ в Wolf7o'- g'*(oi = coo-
Отличительная трудность глобального случая состоит в том, чтобы выяснить, гомотопны ли в указанном выше смысле структуры M0 и COi: линейная комбинация froi+ (1—/)ш0 может по дороге вырождаться. Существуют примеры, показывающие, что это условие нельзя отбросить, даже если не требовать тождественности диффеоморфизма g на N. Гомотопия существует, если симплектические структуры «о и ші совпадают не только на векторах, касательных к N, т. е. на TN, а на всех векторах, касательных к M и приложенных в точках N, т. е. на TnM. В этом случае линейная комбинация —
при всех /Є [0, 1] будет невырожденной в точках N и, следовательно, в некоторой окрестности NbM.
Доказательство глобальной теоремы совершенно аналогично приведенному выше для ее локального варианта. Нужно лишь вместо «интегрирования по частям» — координатного рассуждения в заключительной части доказательства — использовать следующую лемму:
Относительная лемма Пуанкаре (Н. Poinca-гё). Замкнутая дифференциальная &-форма на М, равная ну-
29 лю на TN, в трубчатой окрестности NbM представляется как дифференциал k—1-формы, равной нулю на TnM.
Основа доказательства этой леммы — коническое стягивание нормального расслоения на нулевое сечение (см. [74]).
Теорема о продолжении II. Пусть N — подмногообразие в М, и на слоях расслоения TnM-^M задано гладкое поле внешних невырожденных 2-форм, ограничение которых на подрасслоение TN определяет на N замкнутую 2-форму. Тогда это поле форм можно продолжить до симплектической структуры на окрестности подмногообразия NbM.
Остается открытым вопрос о размерности симплектического многообразия М, в котором заданное вместе с замкнутой 2-фор-мой многообразие N реализуется как подмногообразие. В этом направлении приведем следующий результат.
Теорема о продолжении III. Любое многообразие N вместе с замкнутой дифференциальной 2-формой со реализуется как подмногообразие в симплектическом многообразии M размерности 2 dim N.
В качестве многообразия M достаточно взять кокасательное расслоение T*N. Проекция я : T*N-*-N определяет замкнутую 2-форму я*со на T*N, но заведомо вырожденную. Оказывается, на кокасательном расслоении существует каноническая симплектическая структура, равная нулю на нулевом сечении и в сумме с я*со снова невырожденная. С описания канонической структуры мы начнем следующий параграф.
1.6. Комплексный случай. Определение симплектической структуры и теорема Дарбу дословно переносятся на случай комплексно-аналитических многообразий. То же самое относится к содержанию п. 1.3 и теореме о продолжении III. Справедливы ли остальные результаты § 1 в комплексно-аналитической категории, неизвестно.
§ 2. Примеры симплектических многообразий
В этом разделе мы обсуждаем три источника примеров симплектических многообразий — кокасательные расслоения, комплексные проективные многообразия и орбиты коприсоединенного действия групп Ли0.
2.1. Кокасательные расслоения. Определим каноническую симплектическую структуру на пространстве Т*М кокасатель-ного расслоения произвольного (вещественного или комплексного) многообразия М. Сначала введем на Т*М дифференциальную 1 -форму действия а. Точка многообразия Т*М определяется заданием линейного функционала р?Тх*М на касательном пространстве TxM к M в некоторой точке х?М. Пусть ? —
') Другие конструкции, приводящие к симплектическим многообразиям
(например, многообразиям геодезических), см. в пи. 1.5 и 3.2 главы 3.
30 касательный вектор к Т*М, приложенный в точке р (рис. 10). Проекция л : Т*М-+М определяет касательный вектор jt.g к М, приложенный В точке X. Положим теперь OCp(I) = р(я.?). В локальных координатах (q, р) на Т*М, где р\,..., р„ — координаты на ТХ*М, двойственные к координатам dqu . . ., dqn на TxM, 1-форма а имеет вид a = ~Lphdqh. Поэтому дифференциальная 2-форма со = da задает симплектическую структуру на Т*М. Это и есть наша каноническая структура.
Рис. 10
Кокасательные расслоения постоянно эксплуатируются классической механикой в качестве фазовых пространств гамильто-новых систем1'. Базовое многообразие M называется конфигурационным пространством, а функционал р — обобщенным импульсом механической системы, имеющей «конфигурацию» x = zi(p). Пример: Конфигурации закрепленного в точке твердого тела образуют многообразие SO (3). Обобщенный импульс— трехмерный вектор момента импульса тела относительно точки закрепления.
2.2. Комплексные проективные многообразия. Точки комплексного проективного пространства CPn — одномерные подпространства в O+1. Комплексным проективным многообразием называется неособое подмногообразие в CPn общих нулей системы однородных полиномиальных уравнений от координат (zq, . .., zn) в c71+1. Оказывается, на любом ^-мерном комплексном проективном многообразии, рассматриваемом как 2&-мер-ное вещественное многообразие, существует симплектическая структура. Она строится так. Сначала вводится симплектическая структура на CP", являющаяся мнимой частью эрмитовой метрики на CPn (ср. п. 1.1, гл. 1). Ограничение этой симплектической структуры на проективное многообразие McCPn задает замкнутую 2-форму на М. Она является мнимой частью ограничения на M исходной эрмитовой метрики на CP", откуда следует ее невырожденность. Поэтому остается лишь предъявить обещанную эрмитову метрику на CP".
