Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В классе ростков голоморфных отображений C1 -> C1 особенность w =z2 устойчива. Поэтому для приведения в общее положение в классе вещественных отображений обяэателно нужно сделать добавкуг нарушающую голоморфность. Проще всего в качестве возмущенного взять отображение
w=z2-f- sz.
Это отображение близко к исходному в любом фиксированном круге, если I s I достаточно мал.
Умножения z и w на числа позволяют менять е, поэтому достаточно рассмотреть наше отображение для какого-нибудь ненулевого є, не обязательно малого.
Мы возьмем е =2 и изучим особенности отображения вещественной плоскости (z) на плоскость {w}x заданного формулой
w = z2 + 2z.
З а д а ч а. Найти множество критических точек этого отображения.
Решение. Производная нашего отображения имеет на векторе І значение dw (?) =2z?+2|. Производная вырождена, если уравнение 2z|+2|=0 имеет ненулевое решение 5. Мы получаем z=—откуда I z |=1. Итак, множество критических точек — окружность радиуса 1.
Задача. Найти поле ядер производной на окружности критических точек.
Решение. Из полученной выше формулы Z=—Ц% видно, что, когда z обходит окружность критических точек один раз в положительном направлении, ядро совершает поворот на угол тс в отрицательном направлении. Кроме того, ядро касается окружности в точке z=l. Поэтому поле ядер имеет вид, изображенный на рис. 15. Поле ядер касается окружности критических точек в трех точках. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
19
Задача. Найти множество критических значений исследуемого отображения.
Решение. Пусть критическая точка есть z^ei<r. Соответствующее критическое значение есть w=2e~"p-\-e*"f. Это — параметрическое уравнение гипоциклоиды с тремя остриями (рис. 16). Действительно, рассмотрим большой неподвижный'круг радиуса 3, внутри'которого катится, касаясь его, маленький круг радиуса 1.
с угловой скоростью вдвое меньшей, чем скорость вращения маленького круга, и направленной в другую сторону. Точка маленького круга описывает гипоциклоиду. Это и выражает приведенная формула.
3 амечание. Можно доказать, что рассматриваемое отображение имеет лишь устойчивые особенности. Тогда из результатов предыдущих задач следует, по теореме Уитни, что наше отображение имеет три точки сборки, соединенные Окружностью-складкой. Таким образом, сложная особая точка отображения tv =Z2 распадается при малом шевелении (w =Z2+ ez) так, что образуется три сборки.
Заметим, что при малых | е | радиус окружности критических точек также мал (он равен | е |/2), так что все три точки сборки близки друг к другу.
Задача. Нарисовать образы окружностей разных радиусов I z I =г при отображении w=z2-\-2z.
Решение. О переходит в 0, поэтому образ окружности малого радиуса мало отличается от малой окружности с центром в 0. При увеличении г от 0 до 1 получаем семейство гладких кривых, заканчивающихся гипоциклоидой с тремя остриями (рис. 17, а). Образ окружности несколько большего радиуса в окрестности образов точек сборки можно нарисовать, исходя из модели сборки (рис, 8). В окрестности образа точки складки этот образ окружности идет C той же стороны OT гипоциклоиды! что и образ окруж-
2* iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
ности, радиус которой несколько меньше единицы. Получаем кривую с тремя петлями, близкую к гипоциклоиде (рис. 17, б).
При дальнейшем увеличении радиуса окружности-прообраза петли растут и кривая отодвигается от гипоциклоиды. Для некоторого г возникает тройная точка' (рис. 17, в), затем — кривая, проходящая через'образы точек сборки (рис. 17, г); наконец, не
а)
Ю
пересекающая множество критических значений кривая с тремя точками самопересечения (рис. 17, д).
Замечание. Последняя кривая близка к окружности и два раза обходит w =0, когда z обходит нуль один раз. Действительно, отображение W =Z2-sT Sg в любой конечной области приближается к w=z2 при е 0; поэтому отображение w =^ z2-\-2z «вблизи бесконечности» должно вести себя «почти как» W—z2. ¦
Задача. Сколько прообразов имеют точки областей внутри и вне гипоциклоиды критических значений при отображении w=z2j[-sz? Ответ. Внутри 4, вне 2. Можно доказать, что особенность отображения w=z2 в нуле распадается на три сборки не только при шевелении w =Z2jrSZ, но и при любом малом шевелении общего положения.
. Задача. Рассмотрим отображение плоскости на плоскость, являющееся прямым произведением двух складок:
Ух — xv У г = xi-Исследовать особенности его малого шевеления
Jz1 = х\ + S1X3, X2-IrSiXl.
Ответ. См. рис. 18.
1.9. Особенности отображений двумерных многообразий в трехмерные. Уитни описал также особенности отображений общего положения двумерных многообразий в трехмерные. Их также оказалось конечное число. Образ такого отображения представ-
Рис. 18. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
21
ляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Эта поверхность может, разумеется, иметь линии пересечения двух листов поверхности под ненулевым углом и отдельные точки, в которых пересекаются три листа. Оказывается, кроме этих очевидных особенностей отображения общего положения могут иметь только еще одну особенность. Эта особенность устойчива. Образ соответствующего отображения — замечательная поверхность в трехмерном пространстве. Эта поверхность называется зонтиком Уитни (или зонтиком Кэли). Этот зонтик ^изображен на рис. 19.
