Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Слабая теорема трансверсальности. Отображения, трансверсалъные к С, образуют открытое всюду плотное множество в пространстве гладких отображений замкнутого *) многообразия А в многообразие В, снабженное замкнутым подмногообразием С.
Замечание. Возможность малым шевелением привести отображение в общее положение и ликвидировать нетрансверсаль-ность интуитивно достаточно очевидна (рис. 24).
Доказательство удобно провести с помощью следующей теоремы, доказанной в ситуации алгебраической геометрии Бертини, а в случае гладких функций — Сардом.
Теорема Бертини — Сарда. Мера множества особых значений достаточно гладкого отображения равна нулю.
Замечание. Мера множества особых точек может быть положительна. Пример: / (я)=0.
Доказательство теоремы Бертини—Сарда. Начнем с простейшего частного случая.
Предложение 1. Пусть y=f (х) — гладкая функция на [0, 1]. Тогда мера множества особых значений отображения / равна нулю.
Доказательство. Разобьем [0, 1 ] на N отрезков одинаковой длины. Отметим отрезки, содержащие особые точки. Мера образа отмеченного отрезка оценивается сверху величиной С/N2, где С — не зависящая от N и от отрезка постоянная (так как модуль производной / на отмеченном отрезке ограничен сверху вели-
*) Компактного без края, классы s*
27
чиной CIN). Сумма мер образов отмеченных отрезков не превосходит, таким образом, произведения N- (CIN2). При N -*¦ со эта сумма мер стремится к нулю, что и доказывает предложение 1.
Предложение 2. Пусть / — гладкое отображение т-мерного куба [0, 1]т в т-мерное евклидово пространство. Тогда мера множества особых значений отображения f равна нулю.
Доказательство. Рассуждая, как в доказательстве предложения 1, мы покрываем множество особых значений не более чем (N)"1 множествами, мера каждого из которых не больше С (1 IN)m+1, что и доказывает предложение 2.
Предложение 3. Пусть / — гладкое отображение [0, 1 ]т в n-мерное евклидово пространство. Тогда три достаточно большом к мера образа множества точек, где обращаются в 0 все производные f порядков 1,..., к, равна нулю (достаточно (к > т).
Замечание. В частности, при п т мера всего образа куба равна нулю.
Доказательство. Рассуждая, как в предложениях 1 и 2, покрываем множество значений не более чем (Ar)"1 множествами диаметра не более C1 (i/N)k+1. Это дает для меры оценку сверху величиной CNm (l/7V)(ft+1)", которая и доказывает предложение 3.
Для отображений в пространство такого же или большего числа измерений, как число измерений отображаемого многообразия, теорема тем самым доказана. В случае отображений в пространство меньшего числа измерений нужно еще небольшое дополнительное рассуждение. Рассмотрим простейший случай одной функции.
Предложение 4. Пусть / — гладкая функция двух переменных. Тогда мера множества особых значений отображения f равна нулю.
Доказательство. Мера множества значений в точках, где все три вторые производные равны нулю, равна нулю по предложению 3 (при пг=2, Tz=1 достаточно взять к—2). Рассмотрим особые точки, в которых одна из вторых производных, скажем dfifldx2, отлична от нуля. Уравнение dffdx—0 определяет (по теореме о неявной функции) гладкую кривую. Интересующие нас особые точки лежат на этой кривой и являются особыми для сужения / на эту кривую. По предложению 1 мера множества значений f в этих особых точках равна нулю. Для других вторых производных рассуждение такое же. Предложение 4 доказано.
Предложение 5. Пусть / — гладкая функция т переменных. Тогда мера множества особых значений равна нулю.
Доказательство. Рассуждая, как в предложении 4, доказываем предложение 5 индукцией по т. Рассмотрим множество точек, где все производные до порядка q включительно равны нулю, а одна из производных порядка q-\-1 (скажем, дер/дх, где 28
основные понятия
[ГЛ, і
ср — производная порядка д), отлична от нуля. Это множество содержится в множестве особых точек сужения / на подмногообразие размерности т—1, заданное уравнением ср=0. Таким образом, предложение 5 сводится к предложениям 3 и 1.
В случае отображений в пространство размерности тг 1 проходит такая же индукция, однако здесь имеется новая трудность: в особой точке первые производные, вообще говоря, не все обращаются в нуль.
Предложение 6. Пусть отображение / задано п функциями ff от т переменных Xp и пусть в некоторой точке df1/dx1=^=0. Тогда в окрестности этой точки можно выбрать координаты I так, что отображение запишется в виде однопараметрического семейства gотображений (т—1 )-мерного пространства в (п—1)-мерное:
JZ1 = I1, y' = gt?') (E'= S21 .... Sbij у' = у2, . . ., у„).
Доказательство. Введем локальные координаты I1=Z1, =х'. По теореме о неявной функции это — координатная система. Предложение 6 доказано.
Ясно, что особые значения отображения g, полученного в предложении 6, — это объединение множеств, S— U (S1, S (;,)), где S (?) — множество особых значений отображения g^. Поэтому mes 5=0, если (для всякого I1) mes S (Ii)=O (теорема Фубини).
Теперь теорема Бертини—Сарда доказывается индукцией по размерности отображаемого пространства: в окрестности тех особых точек, где не все первые производные равны нулю, мы понижаем размерность при помощи предложения 6, в особых точках, где все первые производные — нули, — при помощи предложений 5 и 3.
