Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем эти свойства. Обозначим через ц(Р) площадь фигуры Р.
1°. Для каждой фигуры Pt имеющей площадь, функция fi(P) неотрицательна и однозначно определена.
2°, Площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна единице.
3°. ФункцияJt(P) является аддитивной, т.е., если фигура P разбита на две непересекающиеся фигуры Pi и P2, P = Pi U P2, Pi П P2 = 0, то
V(P) = H(Pi)+Ii(P2).
4°. Функция /*(Р) является инвариантной относительнб всех движений плоскости. Другими словами, если фигуры Pi и P2 можно наложить одну на другую так, чтобы все их точки совпали, т.е. Pi и P2 можно совместить при помощи поворота плоскости вокруг некоторой неподвижной точки или параллельного переноса плоскости, ТО ^(P1) =Ji(P2).
5°. Функция р(Р) является монотонной, т.е., если Pi С P2, то
It(Pi), <
Заметим, что эти свойства имеют место не только для площадей простых фигур, но и для объемов простых тел, а также для суммарных длин простейших множеств на прямой, т.е. множеств, составленных из конечного числа промежутков и отдельных точек.
В дальнейшем простейшей будем называть фигуру, являющуюся объединением конечного числа прямоугольников, стороны которых параллельны осям координат. Такие прямоугольники мы будем называть стандартными прямоугольниками.
Заметим, что стандартный прямоугольник может включать в себя любое подмножество точек, лежащих на его сторонах. Как известно,
262- каждый стандартный прямоугольник имеет площадь, равную произведению длин его смежных сторон.
При определении площади фигуры в общем случае, как и в случае криволинейной трапеции, мы можем действовать по аналогии с критерием Римана существования определенного интеграла.
Для этого естественно для плоской ограниченной фигуры P ввести понятие верхней площади фигуры (по аналогии с верхней суммой Дарбу) как точную нижнюю грань площадей /і(Рі) всех открытых простейших плоских фигур Pi, описанных вокруг Р, т.е. P С Pi; а также нижнюю площадь этой фигуры как верхнюю грань площадей ft(P2) всех замкнутых простейших фигур P2, вписанных в Р, т.е. P2CP.
Введенная таким образом верхняя площадь обозначается через Н* (P), а нижняя — через /і* (P).
Заметим, что для простейшей фигуры P имеем
MP) = Ii(P) =S(P)-
Если для фигуры P справедливо равенство н* (P) = /і, (P), то эта величина называется площадью фигуры P и обозначается через /і(Р). Точно так же обстоит дело и с объемом трехмерных фигур, т.е. аналогично определяются верхний и нижний объемы трехмерной фигуры. Для них используются те же самые обозначения: А*+(Р),и*(P),р(Р), где, по определению, для измеримой фигуры P полагают /і(Р) = /і« (P) ~ fi* (P).
Введенное понятие площади фигуры называется мерой Жордана, а сами фигуры, которым с помощью этого определения приписывается значение площади (или объема в трехмерном пространстве) — квадрируемыми (или кубируемыми в случае объема) или измеримыми по Жордану. Для таких фигур вычисление площади (или объема) сводится к вычислению определенного интеграла Римана.
Примеры. 1. Плоская мера Жордана отрезка /, параллельного одной из осей координат, равна нулю. Этот отрезок содержится внутри прямоугольника, одна из сторон которого имеет длину, равную нулю.
2. Любой отрезок I имеет нулевую меру Жордана, так как этот отрезок можно поместить в простейшую фигуру сколь угодно малой площади.
3. Пусть P — простейшая фигура. Тогда мера Жордана ее границы дР равна нулю. Границей P служат стороны прямоугольников, составляющих фигуру Р. Их конечное число, и каждый из них можно поместить в прямоугольник с одной стороной, имеющей длину, равную нулю.
4. Объединение, пересечение и разность простейших фигур является простейшей фигурой.
263- Действительно, пересечение двух стандартных прямоугольников
будет стандартным прямоугольником. Поэтому для фигур А = U Pk
к
и В = UQi1 ^стоящих из стандартных прямоугольников PklQi1 их
пересечение АГ\ В = А = U(PfeflQj) является простейшей фигурой.
Разность двух стандартных прямоугольников является простейшей фигурой. Покажем, что разность А\В двух простейших множеств А и В является простейшим множеством. Пусть P — прямоугольник, содержащий A U B1 тогда А\В = АП(Р\ В).
§ 2. КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ МНОЖЕСТВА ПО ЖОРДАНУ
Как и в случае интеграла Римана, можно сформулировать критерий квадрируемости фигуры, аналогичный критерию Римана с омега -суммами (по форме он напоминает критерий Лебега). Для этого введем понятие границы дР фигуры P1 которое, в свою очередь, использует следующие понятия.
1. Пусть S > 0. Тогда tf-окрестностью точки Xo на плоскости назовем множество точек х, лежащих внутри круга радиуса S с центром в точке Xo-
2. Точка Xo называется внутренней точкой множества P1 если найдется ^-окрестность E(xq, (J) точки Xq целиком принадлежащая P1 т.е. E(xo,S) С Р.
3. Точка Xi называется внешней точкой множества P1 если существует окрестность i?(xi,J) такая, что E(xllS) П P = 0,
4. Если точка х не является ни внутренней, ни внешней точкой множества P1 то она называется граничной точкой множества Р.
