Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Kl = ^Z\/(Xhk - ®lt*-l)2 + -" + (?,* - *m,fc-l)2-
Определение 5. Ломаная I, соответствующая разбиению T отрезка [а, 6], называется вписанной в кривую L1 задаваемую уравнениями Xi = <pi(t)}...}xm = fPmit), t Є [а,6], если начальная точка звена совпадает с концом предыдущего и узлы ломаной I лежат на кривой L.
Определение 6. Простая кривая L называется спрямляемой, если длины |/| всех ломаных /, вписанных в кривую Ly образуют ограниченное сверху множество.
Определение 7, Длиной \L\ спрямляемой кривой L называется число, равное точной верхней грани * длин всех ломалых, вписанных
в данную кривую.
* >
Замечания. 1. Очевидно, что если мы хотим правильно определить понятие длины кривой, то мы должны требовать, чтобы вписанная ломаная была короче самой кривой. В данном случае это так, поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками, как известно, достигается на отрезке прямой, проходящей через эти точки.
2. Бывают неспрямляемые кривые, но они задаются очень сложно, и поэтому примеров их мы приводить не будем.
258- § 2. ТЕОРЕМА О ДЛИНЕ ДУГИ КРИВОЙ
Теорема. Пусть функции <р\(t),..., (pm(t), задающие простую кривую L, имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь]. Тогда кривая L — спрямляема и ее длина \L\ выражается формулой
о _
W = J VW))2 +'"+(VmW)2 dt.
Доказательство. Покажем сначала, что длина любой ломаной не превосходит величины
о
A = J VW<))2 + -+KW)2 dt.
Пусть узлы ломаной I соответствуют точкам to>ti>... }tn разбиения T отрезка [а, 6] : a = to < t\ < ¦ • • < tn = b. Тогда имеем
п
I'! = E VW*') - 91 (*.-l))2 + • • • + (<рт(*м) - Ый-1))3 =
5 = 1
/ >
\ 2 / t. * 2
J ^{t)dt\ +... + і J <р'т(і)
/ Ч»—і
dt
Далее, в силу неравенства (см. гл. VIII, §6, теорема 3)
ь ¦ \2 6
^ (/ /lW rftj +-"•+ |/ fm(t)dt\ < J +
получим
n ?. '_
Таким образом мы доказали, что А — верхняя грань длин всех ломаных вписанных в кривую Ly т.е. кривая L является спрямляемой.
Покажем, что А есть точная верхняя грань длин таких ломаных, т.е. длина кривой L равна А.
10*
259 Поскольку функции <p'k{t), к = 1,..., т, непрерывны на отрезке [а, 6], по теореме Гейне - Кантора они являются равномерно непрерывными на этом отрезке. Следовательно, при всех к = 1,...,т для всякого є > 0 существует число S = S(e) > 0 такое, что для всех t',t" Є [а, 6] : ]t' — t"\ < S выполняется неравенство
Ivl (О -vi (ПК
\fm(b — а)
= ?i ¦
Возьмем любое разбиение T отрезка [а, Ь] с диаметром A^ < S, Tr. а — to < ti ¦ • < tn = 6, и пусть ломаная I соответствует этому разбиению Т.
Оценим теперь сверху разность А — j/| > 0. Имеем
^-Ki= / \/W))2 + --- + (^(O)2
m
/с = 1
Г»- Л I
E / U EWW)' -'=C1 VN *=»
\
m
V—V
/ -J к=1
M^(^-i)' V A^-I
Лі
где A^ft1) = Pk(U) - fk(ts-l), Аї,_! = /s -
Далее применим неравенство треугольника в следующем виде. Пусть заданы вершины 0(0,...,0), А(агат), 5(6ь...,6т) треугольника OAB. Тогда имеет место неравенство треугольника (неравенство Минковского при р =2):
Wl т m
\ Е»ї-Х E« Da* -6*)2
\ A=I N
Следовательно, получим
А
- і'І < E /
\ Jt=I • -1 '
т
ЕШ)-
A pkjts-i)
dt =
Tl I ТП
= E / J E wo-PiOft..))* * <
¦t.-i г
n -I
I Sw^rn dt = е\л/т(Ь — а) = е,
где ^fe ,, — некоторая точка отрезка Теорема доказана.
260- Следствие. Пусть s = s(ti) — длина дуги кривой L, задаваемой уравнениями х\ = a?i(?),..., xm = xm(t), a < t < u. Тогда для дифференциала длины дуги кривой ds справедлива формула
(ds)2 = (dXl)2 + -- +(dxm)2.
Доказательство. Из теоремы имеем
U
*(«) = / yj(x\(t))2 + ---+(xm(t))2dt.
а
Дифференцируя это выражение, найдем
ds(u) = ^(Xtl(u))2 +----1- (x'm(u))2du} или ds = sj(dxі)2 + • ¦ + (dxm)2.
Следствие доказано.
Отсюда имеем, что квадрат дифференциала длины дуги плоской кривой (га = 2) в полярных координатах (r,ip) равен
ds2 = dr2 + г2dtp2, ,
где координаты г и <р определяются по формулам:
X = Г COS <р, у = г sin (р, Г > О, 0 < <Р < 27Г.
Действительно,
dx = cos <р dr ~ г sin (р dtp, dy = sin <р dr + г cos <pd<p.
Следовательно, получим
ds2 = dx2 + dy2 = dr2 + r2d<p2.
В частности, если уравнение эллипса задано в параметрической форме
г = r(<p) = (acosipybsimp), а > Ь > О,
и угол '<р между осью Ox и радиус -вектором f изменяется от нуля до 2тг, То для дифференциала длины дуги эллипса имеем
Пример. Найти длину дуги кривой (циклоиды)
Jx= R(t-sint),
Ij/= A(l-cosO,
где О < t < в < 2тг. Имеем: ds2 = dx2 + dy2, ds2 = 4R2sin2 f (cft)2> ds -2 R sin I dt. Следовательно,
a
s = s(B) = 4R(1 — cos-).
Заметим, что эта кривая задает траекторию движения точки на ободе катящегося колеса радиуса R. Глава XI МЕРА ЖОРДАНА
Лекция 13
§ 1. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОБЪЕМ ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА
О площади плоской фигуры мы уже говорили, когда вводили понятие определенного интеграла как площади криволинейной трапеции. Причем, давая точное определение этого понятия, мы исходили из основных свойств площади фигуры, справедливых для площадей простейших фигур, например, таких, которые являются объединением конечного числа прямоугольников и треугольников.
