Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Семестр I, коллоквиум №1
1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения, функции. Взаимно - однозначное соответствие. Обратная функция.
2. Эквивалентность множеств. Счётные множества. Счётность множества рациональных чисел.
3. Теорема Г.Кантора о неэквивалентности множества и множества всех его подмножеств.
4. Множество мощности континуум. Несчётность континуума.
5. Иррациональность квадратного корня из двух. Десятичная запись вещественного числа. Свойства вещественных чисел. Аксиома Архимеда.
6. Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества.
7. Лемма об отделимости множеств. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков.
8. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства.
9. Неравенство Бернулли и бином Ньютона.
10. Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства.
11. Предельный переход в неравенствах.
12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса.
13. Число "е" и его иррациональность. Постоянная Эйлера.
14. Теорема Бо л ьцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела ограниченной числовой последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
15. Критерий Коши сходимости последовательности.
16. Теорема Штольца. Предел последовательности средних арифметических членов сходящейся последовательности. Существование решения уравнения И.Кеплера.
17. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Итерационная формула Герона. Предельные соотношения:
Iim а1/п.= 1,а > 0; Iim гг1/гї= 1.
u-юа п—юо
Задачи к коллоквиуму
1. Доказать, что [а, 6] ~ (а, 6), [а, 6] ~ [а, Ь).
2. supA = — inf{— A), sup A U В = max(sup4,supB).
Ic
3. a) Iim = 0, где к — постоянная.
n-+OO *
б). Iim п{а1!п — 1) = lna, a > 0.
п—юо
4. Пусть lim хп = +оо. Тогда lim "^jfn = +оо.
n-+oo Г.—* OO п
5. Пусть р„ > О для всех ngN и lim р„ = р. Тогда lim {pi ..-Pn)1/" = P-
674 6. Исходя из lim (1 + 1 /n)" = е доказать, что Iim = е.
Yi —> оо п-»оо (п!)1' ™
7. Доказать, что последовательность an = (1 + 1 /п)"+Р строго убывает тогда и только тогда, когда р > 1/2.
8. Для любого рационального числа г с условием |г| < 1 справедливо равенство 1+г<ег<1 + 7Z7*
9. Iim (-ТГ + ТгЪ" + ---5?) = іп2-
n-Кя V"+1 п+2 2п/
10. Пусть атп — последовательность с ограниченным изменением, т.е.
существует С > 0, такое, что для всех п € N имеем Sjt= і !xfc+i "rJtI < с- Тогда последовательность хп сходится.
11. Пусть О < ^m+n "e^ + Тогда существует предел Iim
— г — п-+оо п
12. а) lim (an + f>n) < lim ап + lim Ьп, если последние пределы существуют.
п—f OO Tl—V OO п—к»
б). Если существует предел lim ап = а и lim Ьп — Ь, то lim anbn = ab.
в). Iim а,п — — Iim (—яп). п-+оо п-юо
13. Пусть Hm an = +со. Тогда существует min tin ¦
n-юо neN
14. Пусть Iim an = а. Тогда последовательность {an} имеет либо наибольший,
n-+OO
либо наименьший элемент, либо и тот и другой.
15. Пусть зп = + *¦• + an —»¦ +оо, а^ > 0, Iim an = 0. Тогда множество
п—к»
предельных точек дробных частей {sn} совпадает с отрезком [0,1].
16. Пусть lim (sri+l — ^n) = O и не существует ни конечного, ни бесконечного
П —> OO
предела lim sn, и пусть I = lim sn, L= lim sn. Тогда последовательность Sn
rwoo П-+00 П-ЮО
расположена всюду плотно на отрезке [/, LJ.
17. а) Пусть un О и Iim яn — О. Тогда существует бесконечно много
п—юс
номеров п, таких, что an > тах(а„^і,оп+2іі»+з,-.)-
б) Пусть Ctn О и lim Qri — 0. Тогда существует бесконечно много номеров
п—>00
п, таких, что an < min(ai, аг, . . ., an_i).
Семестр I, коллоквиум №2
1. Предел функции в точке. Функции, бесконечна малые в точке. Финальная ограниченность функций, имеющих предел в точке. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Свойство монотонности предела функции.
2. Критерий Коши существования предела функции по базе множеств.
3. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
4. Теоремы о пределе сложной функции по базам множеств.
5. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность синуса и показательной функции.
6. Замечательные пределы.
7. Разрывы функции в точке и их классификация. Разрывы монотонных функций.
8. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность элементарных функций.
675 Непрерывность уравнения Кеплера.
9. Теоремы Коши о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
10. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке. Свойства открытых и замкнутых множеств на числовой оси.
11. Лемма Бореля о конечном покрытии компакта открытыми множествами. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на компакте.
