Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
N-+ оо
Для дальнейшего нам будет необходима следующая лемма об оценке сверху абсолютной величины коэффициентов Фурье одной функции.
Лемма. Пусть задано разложение функции
ф(х) = Фм(х) ZZ 1 ==
V 1-f TV2 sin 7ГХ
в ряд Фурье
+ со
ф(х)= Y^ c^inix-
тп= — оо
660 Тогда при N > 1 я m > О справедлива оценка
IcmI = Ic-J
Доказательство. Очевидно, для коэффициентов Фурье имеет место равенство
1/2 1/2 \
/г 2ir»mt
rPN(t)e2*imt dt = Є / dt = EKmy
J у є2 + sin irt -1/2 -1/2
где є = 1 /ЛГ.
Рассмотрим в полуполосе П = {zI Gz > 0, \Шх\ < §} функцию комплексного переменного
Л irimz
/w = /L-, ¦
у є? + sin TTZ
Знаменатель ее обращается в нуль в точке
.In (є + VV+e2)
z = га = г—1-
тг
Функция f(z) будет однозначной функцией в области П с разрезом по лучу (га,+юо).
Рассмотрим произвольное число b > а > 0 и построим контур Ly состоящий из следующих промежутков вида L\ = [—1/2,1/2],
L2 = [1/2,1/2 -Мб], L3 = [1/2+ *МЧ, U - [i'Ma], U = [іа.іб], L6 =
[г'6, —1/2 + г'Ь], L7 =^ [—1/2 + гб, —1/2], т.е. построим замкнутый контур
7
L= U Ij, который обходится в положительном направлении ("против
часовой стрелки").
В силу основной теоремы Коши (пример к §8) имеем
/
f(z) dz = 0.
L
Следовательно, справедливо равенство
ст = J f(z) dz=- j f(z) dz-----J f(z) dz.
Li L2 L7
В силу периодичности подынтегральной функции (f(z -f 1) = /(z)) имеем
I /(z) dz = -I f(z) dz.
L7
661 Далее, поскольку по разным берегам разреза значение квадратного корня от аналитической функции отличаются только знаком, а направления обхода по отрезкам L^ и L^ — противоположны, то
Jf(z) dz = J f(z) dz.
Пусть z = х + ib, X Є L\. Тогда при b —У -f оо имеет место равномерный предел
f(z) = :=j0.
У E1 -f sin2 7ГZ 5
Здесь мы воспользовались теоремой Вейерштрасса, поскольку для некоторой постоянной с > 0 справедливо неравенство
Следовательно, по теореме о переходе к пределу под знаком собственного интеграла от функции, зависящей от параметра, получим
Iim / f(z) dz = lim / f(z) dz = 0. 6-+ + 00 J ?>-++oo J
Li
Таким образом, имеем
+too-
Ke=Jf(z) dz = 2Діш Jf(z)dz = 2 J f(z) dz.
L і L4 ia
Заметим, что sin{7rit) = zsh (1Kt). Поэтому интеграл Ke преобразуется к виду
+ СО +00
2-Kmt f ~2nmt
_= dt = 2 -. — dt.
Ve2-Sh27rt J Vsh 2Kt-S2
а а
Очевидно, имеем
ТГ а = In (є + у/\ +?2), Є™
е-*а - + VrTTP", sh тга = є,
Выполним в последнем выражении для интеграла Ke замену переменных вида X = t — а. Получим
+ OO
/ -2irm(i+a)
— dx. о у sh2 к(х + а) — sh2 ка
662 Используя формулы,
. ti + и U — t> tf + V и -
sh и + sh V = 2 Sh —-— сп --г—, sh и - sh v = 2 ch —-— sh
2 2 ' 2 2 найдем
2 2 sh 7г(х ¦+ а) - sh тта = sh тг(х + 2а) • sh тгх.
Следовательно, интеграл Kc примет вид
+ 00
^/sh 7г(х + 2а) sh пх
Kt = 2e-2*am f , S = 2e~2namGa-
J \/sh 7г(
Так как при ж > О функция sh ж — монотонная и sh жх > 7гя справедливы неравенства
2а +ос
¦2ятг
"7 ' и / ттгт 72 ~ / IwT x/jrar sh 7г(х + 2а) J sh тле
Ov 2 а
Далее, имеем (sh27ra =
2a
/ < 1 f. Г~8g <
1 ~ Vnsh-Ina J у/я ~ V тг sh 2тга ~ 7г
о
После замены переменной t = C7rx получим
+OO
7г
e2wa
f dt J ^T-
В результате замены переменной м = 1 /< находим
+со е"2™
/dt Г du _
ї^гт" J T^u2-
1 1 + є-2™ I1 сЬтга 1 уДТ In --T— = - In ~- = - In
2 1 _ е~2па 2 sh тга 2 є Таким образом, справедливо неравенство
^ 2 1 у/Т+є* Ga < —I— In-.
~ 7Г ТГ ?
663 Наконец, получаем оценку для коэффициента Фурье
72
2 1 , vTTV
|cm| < 2є I - + - In -—:— ]e-m? <
7Г 7Г Є
< L U + in Г) e-™-= i±Me-m/N - 7Г \ є J K N
Лемма полностью доказана.
Заметим, что в Дальнейшем мы могли бы воспользоваться более слабыми оценками коэффициентов Фурье функции ф^(х), но приведенная оценка имеет самостоятельный интерес.
§ 2. КРИТЕРИЙ Г. ВЕЙ Л Я
Докажем теперь следующую теорему, которая называется критерием Г.Вейля равномерного распределения значений последовательности по модулю, равному единице.
Теорема. Эквивалентны следующие утверждения:
1) последовательность равномерно распределена по модулю единица;
2) при любых фиксированных а и ?}0 < a < ? < I, имеет место соотношение
V fW0^) й Iun -і =?~ а;
JV-юо N
3) для любой интегрируемой по Риману функции /(х), определенной sHa отрезке [0,1], справедливо соотношение
JV і
lim N-lYfM-= /(*) dx;
N-* оо ' J
n=1 о
4) для любой непрерывной функции f(x) имеем
N 1
lim AT-1^Z(Xn)= / /(X) rfx; JV-юо ' J
n = 1 0
5) при любом целом числе тпф О имеем
N
JV-1'
JV-+оо
lim Ar1Ve2jrimx" =0.
П = 1
664 Доказательство. Очевидно, из определения имеем, что из первого утверждения теоремы следует второе утверждение. Кроме того, из третьего утверждения следует четвертое утверждение, а из него следует утверждение 5). Остается только доказать, что справедливы импликации: 2) => 3) и 5) 1).
Докажем, что из утверждения 2) следует утверждение 3). Определим периодическую функцию д(х) с периодом 1 равенством
