Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем примеры таких систем функций.
1. На интервале (—тс, 7г) рассмотрим последовательность функций 1, cosa:, sin х, cos 2х, sin 2х, ..., cos/га:, sin nx, ...
Каждые две функции из этой последовательности ортогональны между собой. Это проверяется простым вычислением соответствующих интегралов. Квадрат длины вектора в гильбертовом пространстве есть интеграл от квадрата функции. Таким образом, квадраты длин векторов последовательности
1, cos х, sin a:, cos 2а:, sin 2а:, ...,cos nx, sin nx, ... суть интегралы
TZ TZ n
I dx = 2iz, I cos2 nx dx = iz, J sin2 nx dx = it,
-TZ -TZ -1С
т. е. последовательность наших "векторов ортогональна, но не нормирована. Длина первого вектора последовательности равна V* 2ти, а все § 3. Разложение по ортогональным системам функций
228
остальные имеют длину у/ %. Поделив каждый вектор на его длину, мы получим ортогональную и нормированную систему тригонометрических функций
1 cos X sin X cos 2х sin 2х cos пх sin пх
V^~2tc ' <Ґтс ' VTC ' Vit ' у/~тс ' ' ' '' VrS- ' у/тс '
Эта система является исторически одним из первых и наиболее важных примеров ортогональных систем. Она возникла в работах Эйлера, Д. Бернулли, Даламбера в связи с задачей о колебаниях струны. Ее изучение сыграло существенную роль в развитии всего анализа1.
Появление ортогональной системы тригонометрических функций в связи с задачей о колебаниях струны не случайно. Каждая задача о малых колебаниях среды приводит к некоторой системе ортогональных функций, описывающих так называемые собственные колебания данной системы (см. § 4). Например, в связи с задачей о колебаниях сферы появляются так называемые сферические функции, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны или цилиндра появляются так называемые цилиндрические функции и т. д.
2. Можно привести пример ортогональной системы функций, каждая функция которой является многочленом. Таким примером является последовательность многочленов Лежандра
2»л[ dx» '
т. е. Р„(х) есть (с точностью до постоянного множителя) производная га-го порядка от (х2—1)и. Выпишем первые несколько многочленов этой последовательности:
Л> (*)=*;
P1(x) = x-,
P2(X)=-|(3*2-t);
P3 (х) = \(bx* -Zx).
Очевидно, что вообще Pn (х) есть многочлен /1-й степени. Мы предоставляем читателю самому убедиться, что эти многочлены представляют собой ортогональную последовательность на интервале (—1, 1).
Общую теорию ортогональных многочленов (так называемые ортогональные многочлены с весом) развил замечательный русский математик П. Л. Чебышев во второй половине XIX в.
Разложение по ортогональным системам функций. Подобно тому как в трехмерном пространстве каждый вектор можно представить
і См. главу XII (том 2), § 1. 15 Зак. № 812 226
Глава JLlJL. Функциональный анализ
в виде линейной комбинации трех попарно ортогональных векторов е2, е3 единичной длины
/ =A1C1 + а2е2 + а3е3,
в функциональном пространстве возникает задача о разложении произвольной функции / в ряд по ортогональной и нормированной системе функций, т. е. о представлении функции / в виде
/ (®) = eI ?1 (®)+ flSf8(S)+ ••• +«*?«(*)+ ¦•• (15)
При этом сходимость ряда (15) к функции / понимается в смысле расстояния между элементами в гильбертовом пространстве. Это значит, что среднее квадратичное уклонение частичной суммы ряда Sn (t) =
— 2 akfiк (0 от функции f(t) стремится к нулю при /г->- OO, т. е. Ь=1
ь
Iim [[/(/) —(Ol2A = 0. (16)
а
Такая сходимость называется обычно «сходимостью в среднем».
Разложения по тем или иным системам ортогональных функций часто встречаются в анализе и являются важным методом для решения задач математической физики. Так, например, если ортогональная система есть система тригонометрических функций на интервале (—к)
1, cos X, sin х, cos2z, sin 2x,___,cos nx, sin nx,...,
то такое разложение есть классическое разложение функции в тригонометрический ряд1
/ (X) = а0 + O1 cos X + b^ sin ® + e2 cos 2х + b2 sin 2х + ...
Предположим, что разложение (15) возможно для любой функции / из гильбертова пространства, и найдем коэффициенты а„ такого разложения. Для этого умножим обе части равенства скалярно на одну и ту же функцию <рт нашей системы. Мы получим равенство
(/> Tm) = flI (?1> 9т) + fl2 (?2> ?«)+••¦ +
)+flm+l (?
m+l> ?m) + • • • і
из которого в силу того, что (<pm, <р„) = О при m=f=n и (фт, фт) = 1, определяется значение коэффициента ат
flm = (/, ?«) (т = 1,2,...).
Мы видим, что, как и в обычном трехмерном пространстве (см. начало этого параграфа), коэффициенты ат равны проекциям вектора / на направления векторов ^fc.
1 Такое разложение часто встречается в различных вопросах физики при разложении колебаний на гармонические составляющие. См. главу YI (том 2), § 5. § 3. Разложение по ортогональным системам функций
227
Вспоминая определение скалярного произведения, получаем, что коэффициенты разложения функции f(x) по ортогональной и нормированной системе функций 92(х)> •••>?« Or), ...
