Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как масса распределена вдоль струны непрерывно, то положение струны уже нельзя задать конечным числом чисел уи у2,..., уя, а нужно задать отклонение у (х) каждой точки х струны. Таким образом, положение струны в каждый момент времени задается некоторой функцией у (х).
Положение нити с п грузами, прикрепленными в точках с абсциссами X1, х2, ... , хп, изображается графически ломаной линией с п звеньями (рис. 4). Если число грузов увеличится, то соответствующим образом увеличится число звеньев ломаной линии. Если число грузов неограниченно возрастает, а расстояние между соседними грузами стремится
к нулю, то в пределе мы получим непрерывное распределение масс вдоль нити, т. е. идеализированную струну. Ломаная линия, изображающая положение нити с грузами, перейдет при этом в кривую, изображающую положение струны (рис. 5). ? 2. Гильбертово пространство .
219
Мы видим, таким образом, что между задачами о колебании нити с грузами и о колебании струны существует тесная связь. В первой задаче положение системы задавалось точкой или вектором /г-мерного пространства. Поэтому естественно функцию f(x), задающую положение колеблющейся струны во второй задаче, также рассматривать как вектор или точку некоторого, уже бесконечномерного пространства. К той же идее рассмотрения пространства, точками (векторами) которого являются функции /(ж), заданные на некотором интервале, приводит целый ряд аналогичных задач1.
Рассмотренный выше пример задачи о колебаниях, к которому мы еще вернемся в § 4, подсказывает нам, как следует вводить основные понятия в бесконечномерном пространстве.
Гильбертово пространство. Мы рассмотрим здесь одно из наиболее распространенных и важных для приложений понятий бесконечномерного пространства, а именно понятие гильбертова пространства.
Вектор «-мерного пространства определялся как совокупность « чисел fi, где і меняется от 1 до и. Аналогично, вектор бесконечномерного пространства определяется как функция f{x), где х меняется от а до Ъ.
Сложение векторов и умножение вектора на число определяется как сложение функций и умножение функции на число.
Длина вектора / в «-мерном пространстве определялась формулой
у 2 ff • Так как Для функций роль суммы играет интеграл, то длина вектора f(x) гильбертова пространства задается формулой
1 В качестве еще одной такой задачи рассмотрим электрические колебания, возникающие в цепочке связанных между собой электрических контуров (рис. 6).
Состояние такой цепочки выражается набором п чисел M1, tt2, . . . , "я, где uf — напряжение на конденсаторе г-го контура цепочки. Совокупность п чисел (U1, ... , и,,) является вектором га-мерного пространства.
Представим себе теперь двухпроводную линию, т. е. линию, состоящую из двух проводов, имеющих конечную емкость и индуктивность, распределенные вдоль линии. Электрическое состояние линии выражается некоторой функцией и(х), задающей распределение напряжения вдоль линии. Эта функция являете» вектором бесконечномерного пространства функций, заданных на интервале (а, Ь).
(5)
"П-Т^ШИ-^^ЬП—......—UUE»—г
—^ЩГ^ТГОТПГ^—........-iTffifflT1—L
Рис. 6. 220
Глава JLlJL. Функциональный анализ
Расстояние между точками / и g в л-мерном пространстве определяется как длина вектора/— g, т. е. как j/^2 (/< — SiT- Аналогично «расстояние» между элементами f(t) и ^(г) в функциональном пространстве
равно j/ f [f(t) — g(l)]*dt.
ь
Выражение J [f (t) — g (t)]2 dt называется средним квадратичным укло-
а
нением функций / (t) и g(t). Таким образом, за меру расстояния двух элементов гильбертова пространства принимается их среднее квадратичное уклонение.
Перейдем к определению угла между векторами. В л-мерном пространстве угол у между векторами /={/,} и g= {§,} определяется формулой
м
2 f<e< •=i
COSip :—
В бесконечномерном пространстве суммы заменяются соответствующими интегралами и угол <р между двумя векторами / и g гильбертова пространства будет определяться аналогичной формулой
о
J f(t)g(t) dt
cos ? = '--(6)
у j fit) dt у Jg2 (0 dt
Такое выражение можно считать косинусом некоторого угла <р, если стоящая справа дробь по абсолютной величине меньше единицы, т. е. если
ь і /ц /г —
|/(0*(0А|<|/ \f(t)dt yj^t) dt . (?)
Это неравенство действительно имеет место для любых двух функций f(t) и ?(0- Оно играет важную роль в анализе и носит название неравенства Коши — Буняковского. Докажем его. ? 2. Гильбертово пространство . 221
Пусть f(x) и g (х)— две функции, нетождественно равные нулю, заданные на интервале (а, Ь). Возьмем произвольные числа X и ja и составим выражение
J [If (X)(x)]*dx.
Так как функция [1f(x) — \i.g(x)\2, стоящая под знаком интеграла, неотрицательна, то имеет место неравенство
f Ilf(X)-Pg(X)]*О,
T . е.
2Х|/. [ / (х) g (х) dx < X2 j' /2 (х) dx 4- {л2 j' g2 (x) dx.
a a a
Введем для краткости обозначения
ь ь ь
J f(x) g (х) dx = C, \f(x)dx = A, I g2 (x) dx = B. (8)
it a a
В этих обозначениях неравенство перепишется следующим образом1:
