Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
-f- і sin —--решение уравнения ая = 1, а а0, . . ., а„ — обычные целые
числа. Числа указанного вида образуют область целостности, и Куммер сначала принял в качестве очевидного предположение, что в этой области имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители. При этом им было построено и доказательство предположения Ферма. Однако при проверке обнаружилось, что упомянутое допущение об однозначности разложения неверно. Желая сохранить однозначность разложения на простые сомножители, Куммер оказался вынужденным рассматривать разложения чисел области на сомножители, не входящие в самую область. Эти числа он назвал идеальными. Впоследствии при построении общей теории вместо идеальных чисел стали вводить совокупности элементов области, делящиеся на то или иное идеальное число, которые и получили название идеалов.
Открытие неоднозначности разложения на простые сомножители в числовых кольцах представляется одним из интереснейших фактов, найденных в прошлом столетии, приведшим к созданию обширной теории алгебраических чисел.
Одно из изящных применений этой теории к вопросу о разложении обычных целых чисел на сумму квадратов указано в конце главы X (том 2). Значительную роль в развитии теории числовых колец сыграли работы отечественных математиков Е. И. Золотарева, Г. Ф. Вороного, И. М. Виноградова и Н. Г. Чеботарева.
Алгебраические многообразия. Другой исток теории идеалов лежит в алгебраической геометрии. Уже при первоначальном ознакомлении с теорией кривых второго порядка обычно вызывает удивление, что единой кривой гиперболой называют совокупность двух не связанных друг с другом кривых — ветвей гиперболы и что в то же время пару прямых называют распадающейся кривой второго порядка. Это различие в терминологии находит объяснение в алгебре: если уравнения кривых рассматривать в виде / (х, у) = 0, где f (х, у) — многочлен от х, у, то в первом случае левая часть этого уравнения будет неприводимым многочленом второй степени, а во втором — произведением двух сомножителей первой степени. Кривую, уравнение которой можно представить при помощи неприводимого многочлена f(x, у), называют неприводимой, а в противном случае — приводимой.
При переходе к пространственным кривым дело становится сложнее. Пространственная кривая изображается системой двух уравнений f(x, у, z) = 0, g(x, у, z) = 0, причем многочлены fag определяются § 14. Кольца
327
кривой далеко не однозначно. Что же здесь называть неприводимой кривой?
Естественный ответ дает теория идеалов. Пусть Д, /2, ...—некоторое множество многочленов от переменных х, у, z вообще с комплексными коэффициентами. Совокупность точек пространства (комплексного), координаты которых обращают все данные многочлены в нуль, называется алгебраическим многообразием, определяемым данными многочленами. Обозначим это многообразие через M и рассмотрим все многочлены от переменных х, у, Z, обращающиеся в нуль в каждой точке М. Легко видеть, что совокупность I всех таких многочленов будет идеалом в кольце многочленов ОТ X, у, z. Этот идеал, кроме того, будет обладать тем свойством, что если степень какого-либо многочлена содержится в /, то и сам многочлен содержится в I. Оказывается, что в то время как различные совокупности многочленов могут определять одно и то же алгебраическое многообразие, соответствие между многообразиями и идеалами с упомянутым дополнительным свойством является взаимно однозначным.
Таким образом, при изучении свойств многообразий естественно рассматривать не более или менее случайные «уравнения» их, а изучать соответствующий идеал. Если идеал I может быть представлен в виде пересечения каких-либо двух идеалов I1, It, то многообразие M будет объединением многообразий M1, M2, отвечающих идеалам I1, I2. Отсюда видно, что многообразие M естественно называть неприводимым в том случае, когда соответствующий идеал I нельзя представить в виде пересечения двух других объемлющих идеалов. Распадению кривой на кривые низших порядков, разложению многообразия на неприводимые теперь будет отвечать представление соответствующего идеала в виде пересечения неразложимых. Вопрос об однозначности и возможности таких разложений является одним из первых в теории алгебраических многообразий и общей теории идеалов.
Строение некоммутативных колец. Всякая алгебра является в то же время кольцом относительно операций сложения и умножения. Поэтому значительное число основных понятий и результатов теории алгебр имеет силу и для произвольных колец. Однако перенесение более тонких результатов теории алгебр, аналогичных, в частности, теоремам Молина—Веддербарна (ср. § 11), связано с рядом трудностей, отчасти преодоленных только за последние 10—15 лет. Речь прежде всего идет о нахождении такого определения радикала кольца, чтобы кольца с нулевым радикалом имели какое-то сходство с полупростыми алгебрами, и во всяком случае, чтобы из теорем теории колец соответствующие результаты структурной теории алгебр получались в качестве частных случаев. В настоящее время в теории колец имеется уж( ряд определений радикала, позволяющих при тех или иных ограниче ниях строить содержательную теорию строения полупростых колеп 328
