Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
/О —а —Ь\ A = I а 0 —с Vfe с Ч0У
Так как каждая из этих матриц вполне характеризуется тремя числами а, 6, с, то ее можно условно изобразить вектором а, имеющим по осям координат проекции а, Ъ, с. При этом линейной комбинации XA1-^flA2 матриц A1 и A2 указанного вида будет, очевидно, отвечать линейная комбинация соответствующих векторов ая, -j- ?a2, а коммутатору матриц
A1A2 =
¦а, - -ЬЛ/О — fl2 -к
0 - "С1 ( «2 0 — С2
о / \&2 Vi- С2 0
,C2 Ь2 — а2Ьх
будет отвечать вектор с проекциями Ьгс2 — b2cv Ci2c1— a,c2, агЬ2 — а2Ьл, т. е. векторное произведение векторов Я, и а2. Мы пришли к замечательному результату, что совокупность обычных векторов относительно действий сложения, умножения на скаляр и векторного умножения образует алгебру Ли, отвечающую группе вращений пространства около неподвижной точки. Это еще раз показывает, насколько тесно геометрические понятия связаны с группой вращения пространства, т. е., другими словами, с законами движений твердых тел.
Для алгебр Ли в конце прошлого и начале нынешнего столетия был получен ряд результатов, аналогичных основным результатам об ассоциативных алгебрах, хотя доказательства и формулировки здесь оказываются более сложными. Так, в результате усилий Ли, Киллинга и Картана к началу XX в. для алгебр Ли удалось установить понятия радикала, полупростоты и найти все простые алгебры Ли над полями действительных и комплексных чисел. К началу 30-х годов Картаном и Вейлем была в основном построена теория представлений алгебр Ли матрицами, оказавшаяся замечательным инструментом для решения многих задач. В последние 15 лет разработкой теории алгебр Ли занимался ряд советских математиков, получивших в этой области немало замечательных результатов. В частности, ими была существенно продвинута теория представлений алгебр Ли и окончательно решены вопросы о полупростых подалгебрах алгебр Ли, о построении алгебр с заданным радикалом и т. п. § 14. Кольца
323
§ 14. КОЛЬЦА
В § 11 (стр. 305) было дано общее определение поля как произвольного множества элементов, на котором определены действия сложения и умножения, удовлетворяющие приводившимся там требованиям 1—10. Опустив в этом определении требование 10 о существовании частного и требования 7, 8 коммутативности и ассоциативности умножения, получим определение понятия кольца — одного из важнейших понятий современной алгебры.
Всякое поле, а также всякая алгебра, рассматриваемая только относительно операций сложения и умножения, является кольцом. Еще более простым примером кольца служит совокупность целых рациональных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Относительно этих операций кольцами будут также совокупности
чисел вида a-{-bi, a-{-b^2, а Ь \/2 с и т. п., где а, Ь, с — целые рациональные числа. Элементами этих колец являются числа, благодаря чему и сами кольца !называются числовыми. Некоторые важные свойства и приложения этих колец были рассмотрены в главах IV (том 1) и X (том 2).
Однако существуют важные классы и нечисловых колец. Так, например, относительно обычных операций сложения и умножения кольцами являются совокупность многочленов от данных переменных x1, х2, .. .,хп с коэффициентами из какого-либо фиксированного кольца или поля, совокупность всех непрерывных функций, определенных на некоторой области, совокупность линейных преобразований линейного или гильбертова пространств.
Арифметические свойства числовых колец являются предметом изучения глубокой теории алгебраических чисел, пограничной между собственно алгеброй и собственно теорией чисел. Исследованием свойств колец многочленов занимается так называемая теория полиномиальных идеалов, тесно связанная & высшими отделами аналитической геометрии. Наконец, кольца функций и преобразований играют основную роль в функциональном анализе (см. главу XIX).
На базе этих и некоторых других конкретных теорий в текущем столетии стали быстро развиваться общая теория колец и теория топологических колец.
За ограниченностью места далее будут указаны лишь отдельные результаты, относящиеся только к введению в теорию колец.
Идеалы. Подмножество I элементов некоторого (не обязательно ассоциативного) кольца К называется его идеалом, если разность любых двух элементов иэ 1 снова содержится в I и если произведения ал, ха произвольного элемента а из 7 на произвольный элемент х кольца К содержатся в 1.
21* 324
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Каждый идеал является такой частью кольца, которая сама является кольцом относительно действующих в заданном кольце операций сложения и умножения. Такие части называются подкольцами данного кольца и, значит, каждый идеал является в то же время подкольцом. Обратное, как правило, несправедливо.
Пересечение любой системы идеалов кольца снова является идеалом этого кольца, в частности идеалом кольца будет пересечение всех идеалов, содержащих какой-нибудь фиксированный элемент а кольца. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом а, и обозначается через (а).
