Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае рациональная функция может быть представлена в виде суммы всех ее главных частей и некоторого многочлена
+ C0 + C1Z+... 4-Ch,**. (47)
Формула (47) дает выражение рациональной функции, в котором ясно выступает роль особых точек функции в ее построении. Выражение (47) для рациональной функции представляет большие удобства при различных применениях рациональных функций и имеет также принципиальный интерес, выявляя, каким образом особые точки функции определяют всю ее структуру. Оказывается, что так же, как и рациональная функция, всякая мероморфная функция может быть сконструирована по главным частям ее полюсов. Приведем без доказательства подобное выражение, например для функции ctgz. Полюсы функции ctgz получаются как корни уравнения
sin z = 0
и расположены в точках: ..., — къ, — х, 0, тс, ..., къ, ... Можно
доказать, что главная часть разложения функции ctgz в степенной ряд в полюсе Z = Atc будет
1
Z — a7t '
/м- 2
m
—Wlj
+
CW1 § 4. Криволинейный интеграл
213
а функция ctg z равна сумме главных частей относительно всех ее полюсов
+ + (48)
S-=I
Разложение мероморфной функции в ряд по главным частям замечательно тем, что в нем явно выражены особые точки функции и что такое аналитическое представление позволяет вычислять функцию во всей области, где она определена.
Теория мероморфных функций явилась фундаментом при изучении многих важнейших для анализа классов функций. Особенно следует подчеркнуть ее значение в теории уравнений математической физики. Создание теории интегральных уравнений, позволивших дать ответ на ряд важных вопросов теории уравнений математической физики, широко опиралось на основные предложения теории мероморфных функций.
G тех пор развитие главы функционального анализа, наиболее тесно связанной с. математической физикой, — теории операторов — весьма часто опиралось на факты теории аналитических функций.
Об аналитическом представлении функции. Мы видели выше, что в окрестности всякой точки, где функция дифференцируема, она может быть определена с помощью степенного ряда. Для целой функции степенной ряд сходится во всей плоскости и дает аналитическое выражение функции всюду, где она определена. В случае, если функция не является целой, ряд Тейлора, как мы знаем, сходится лишь в круге, окружность которого проходит через ближайшую особую точку функции. Таким образом, степенной ряд не позволяет вычислить функцию всюду, где она определена, и, следовательно, аналитическая функция не может быть задана во всей области ее определения степенным рядом. Для мероморфной функции аналитическим выражением, дающим функцию во всей ее области определения, является разложение по главным частям.
Если функция не целая, но определена в некотором круге или если мы имеем функцию, определенную в некоторой области, но хотим ее изучать лишь в некотором круге, то для изображения ее может служить ряд Тейлора. В случае, когда мы изучаем функцию в областях, отличных 0т круга по форме, встает вопрос о возможности найти аналитическое, выражение функции, пригодное для ее изображения во всей этой области. Степенной ряд, дающий выражение аналитической функции в круге, имеет своими членами простейшие многочлены а„гп. Естественно возникает вопрос, нельзя ли в произвольной области аналитическую функцию разложить в ряд многочленов. Тогда каждый член ряда опять сможет быть вычислен арифметическими операциями, и мы получим аппарат для представления функции, снова исходйщий из ¦214
Глава IX. Функции комплексного переменного
простейших операций арифметики. Общий ответ на поставленную задачу дается следующей теоремой:
Аналитическая функция, заданная в произвольной области, граница которой состоит из одной линии, может быть разложена в ряд многочленов
/(*) = Л(*) + Л (*)+... + />»(*)+...
Сформулированная теорема дает только общий ответ на вопрос о возможности разложения функции в произвольной области в ряд многочленов. Однако эта теорема еще не позволяет построить ряд по заданной функции, как это имеет место для ряда Тейлора. Эта теорема скорее лишь ставит вопрос о разложении функций в ряды многочленов, а Не решает этот вопрос. Вопросы о построении ряда многочленов по заданной функции или некоторым ее свойствам, вопросы построения наиболее быстро сходящихся рядов и рядов, тесно связанных с характером поведения самой функции, вопросы изучения структуры функции но заданному ряду многочленов, представляющему функцию, составляют широко развитую теорию приближения функций рядами многочленов. В создании этой теории весьма большая роль принадлежит советским математикам, получившим в этом направлении ряд фундаментальных результатов.
§ 5. СВОЙСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
Свойство единственности аналитических функций. Одним из наиболее замечательных свойств аналитических функций является их свойство единственности.
Если в области D заданы две аналитические функции, совпадающие на некоторой линии С, лежащей внутри области, то они совпадают ва всей области.
