Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще говоря, в разных точках поверхности касательные плоскости различны, и потому семейство касательных плоскостей поверхности обычно будет двупараметрическим. Однако в некоторых случаях, как, например, у цилиндра, оно однопараметрическое. Оказывается, имеет место следующая замечательная теорема. Однопараметрическое семейство касательных плоскостей имеют те и только те поверхности, которые разворачиваются на плоскость, т. е. такие, у которых любой достаточно малый кусок может быть изогнут в кусок плоскости. Это — развертывающиеся поверхности, о которых упоминалось в § 4. Каждая аналитическая поверхность такого рода состоит из отрезков прямых линий и есть либо цилиндрическая (прямые параллельны), либо коническая (прямые сходятся в одной точке), либо образуется касательными к некоторой пространственной кривой.
10 Математика, т. 2
Рис. 48. 146
Глава VII. Кривые и поверхности
Теория огибающих часто используется в инженерных задачах, например в теории передач. Рассмотрим два зубчатых колеса А и В. Относительное их движение можно представить себе, предполагая, что колесо А неподвижно, а колесо В катится по нему (рис. 50). Тогда контур зуба колеса Б, принимая разные положения, образует в плоскости колеса А семейство кривых, а контур колеса А должен все время их касаться,
отмеченное условие является основным, которому должны удовлетворять допустимые формы зубчатых колес.
Как мы сказали, вопрос об огибающих является только простейшим и давно решенным вопросом теории семейств кривых и поверхностей. По возможным задачам эта теория не менее обширна, чем, скажем, просто теория поверхностей. Особенно усиленно разрабатывается теория «кон-груэнций», т. е. двупараметрических семейств разных линий, в частности прямых (так называемые «прямолинейные» конгруэнции). В этой теории применяются по существу те же методы, что и в теории поверхностей.
Начала теории прямолинейных конгруэнций восходят еще к работе Монжа «О выемках и насыпях», само •название которой указывает, что исследование Монжа возникло в связи с задачами практики; речь шла о наиболее выгодной транспортировке земли из выемки на насыпь.
Систематическое развитие теории конгруэнций, начавшееся в середине прошлого столетия, в большой степени обязано ее связи с геометрической оптикой; совокупность световых лучей в однородной среде всякий раз представляет собой конгруэнцию прямых.
т. е. служить огибающей этого семейства. Конечно, для передач этого недостаточно, зацепление должно еще переходить от одной пары зубьев к другой, но все-таки
Рис. 49а.
Рис. 496. § 5. Новые направления в теории, кривых и поверхностей
146
Нерегулярные поверхности и геометрия «в целом». Теория кривых и поверхностей (а также их семейств), как она сложилась в конце прошлого столетия, называется обычно классической дифференциальной геометрией; для нее характерны, в частности, следующие особенности.
Во-первых, она рассматривает только «достаточно гладкие», так называемые регулярные кривые и поверхности, т. е. такие, которые задаются функциями, имеющими достаточное число производных. Поэтому, например, поверхности с остриями и ребрами, такие, как многогранные поверхности или поверхность конуса, либо вовсе исключаются из рассмотрения, либо рассматриваются только на тех кусках, где они остаются гладкими.
Во-вторых, классическая дифференциальная геометрия исследует специально свойства достаточно малых участков кривых и поверхностей (геометрия в «малом»), вовсе не обращаясь к таким вопросам, как свойства целых замкнутых поверхностей (относящиеся уже к так называемой геометрии «в целом»).
Типичные примеры, обнаруживающие различие геометрии «в малом» и «в целом», дает изгибание поверхностей. Например, еще в 1838 г. Миндинг доказал, что достаточно малый кусок сферы изгибаем (теорема «в малом»). Вместе с тем он высказал предположение, что целая сфера, уже неизги-баема. Эта теорема была доказана другими математиками лишь в 1899 г. Кстати, неизгибаемость сферы, сделанной из гибкого, но практически нерастяжимого материала, легко обнаруживается на опыте. Так например, мяч для игры в настольный теннис твердый, в то время как он сделан из довольно гибкого материала. Еще один пример, о котором уже говорилось в § 4, представляет простое жестяное ведро; оно в целом жестко благодаря наличию круглой закраины; отдельные же участки той же поверхности допускают изгибания. Как видим, между свойствами поверхностей «в малом» и «в целом» может обнаруживаться существенное различие.
Характерные примеры дает также теория геодезических линий, с элементами которой мы познакомились в § 4. Геодезическая «в малом», т. е. на малом участке, — кратчайшая, но «в целом» она может вовсе не быть кратчайшей, а может быть, например, замкнутой, как показывает пример больших кругов на сфере.
Читатель легко заметит, что формулированные в § 4 теоремы о геодезических являются в основном теоремами «в малом». Вопросы же о поведении геодезических на всем их протяжении будут относиться к геометрии «в целом». Известно, например, что на регулярной поверхности две достаточно близкие точки соединимы единственной геодезической, не выходящей из некоторой малой окрестности. Если же рассматривать и геодезические, значительно удаляющиеся на своем протяже-
