Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 32 § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
Что же это за свойства? Ясно, что при любом изгибании могут сохраняться лишь те свойства, которые в конечном счете зависят только от длин кривых, т. е. могут быть установлены путем измерений, производимых на самой поверхности. Изгибание — это любая деформация, сохраняющая длины кривых, и всякое свойство, которое нельзя изменить никаким изгибанием, так или иначе определяется через длины. Говорят, что внутренняя геометрия — это просто геометрия на поверхности. Самый смысл
слов «внутренняя геометрия» в том и состоит, что изучаются лишь внутренние свойства самой поверхности, не зависящие от того, каким образом она изогнута в пространстве1. Так, например, если мы соединим на листе бумаги две точки прямолинейным отрезком, а потом изогнем этот лист {рис. 33), то отрезок превратится в кривую линию, однако его свойство быть кратчайшей из линий, соединяющих на поверхности данные точки, сохранится; оно, следовательно, принадлежит внутренней геометрии. Напротив, кривизна этой линии будет зависеть от того, в какой мере изогнута бумага, и, следовательно, уже не относится к внутренней геометрии.
Вообще, поскольку планиметрия в своих выводах не обращается к свойствам пространства, объемлющего плоскость, все ее теоремы относятся к внутренней геометрии любой поверхности, полученной изгибанием плоскости. Можно сказать, что планиметрия есть внутренняя геометрия плоскости.
Другой всем знакомый пример внутренней геометрии — это геометрия на поверхности сферы, с которой мы по существу имеем дело при измерениях на земной поверхности. Этот пример особенно хорошо выясняет сущность понятия внутренней геометрии. Дело в том, что ввиду большого
1 Заметим, что идеи внутренней геометрии привели к широким обобщениям математического понятия о пространстве и тем сыграли весьма важную роль в современной физике, о чем более подробно сказано в главе XVII (том 3).
9 Математика, т. 2
Рис. 33. 130
Глава VII. Кривые и поверхности
радиуса Земли непосредственно обозримые участки ее поверхности воспри нимаются как плоские, и потому отклонения от планиметрии, наблюдаемые при измерении больших расстояний, предстают уперед нами ш как результат искривленности земной поверхности в пространстве, а как своеобразные законы «земной геометрии», выражающие геометрические свойства самой поверхности Земли.
Рис. 34.
Следует отметить, что сама идея изучения внутренней геометрии возникла у Гаусса именно в связи с задачами геодезии и картографии. Обе эти прикладные науки по существу связаны с внутренней геометрией земной поверхности. Картография имеет дело, в частности, с искажениями отношений размеров при изображении участков земной поверхности на плоскости и, следовательно, с отличием внутренней геометрии поверхности Земли от планиметрии. Аналогично можно представлять себе внутреннюю геометрию любой поверхности: вообразим, что на данной поверхности живут существа настолько маленькие, что в пределах их кругозора поверхность кажется плоской, (мы знаем, что достаточно малый кусок всякой гладкой поверхности мало отличается от касательной плоскости); тогда эти существа не будут замечать, что поверхность искривлена в пространстве, зато при измерении больших расстояний они убедятся, что в их геометрии господствуют другие законы, соответствующие внутренней геометрии той поверхности, на которой они живут. В том, что эти законы действительно различны для разных поверхностей, можно убедиться, например, следующим простым рассуждением. Возьмем на поверхности некоторую точку О и рассмотрим кривую L такую, что расстояние любой ее точки до О, измеренное на поверхности (т. е. длина кратчайшей линии, соединяющей эту точку с О), равно постоянному числу г (рис. 34). Кривая L с точки зрения внутренней геометрии есть не что иное, как окружность радиуса г. Формула, выражающая ее длину s(r) в зависимости от г, относится к внутренней геометрии данной поверхности. Между тем, эта зависимость может быть самой разнообразной: так, на плоскости s(r)=2vr\
на сфере радиуса R, как нетрудно подсчитать, s (г)=2-кRsm-^, на поверхности, изображенной на рис. 35, начиная с некоторых значений г, длина окружности с выбранным центром О становится вовсе не зависящей от г, § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
а затем начинает убывать. Следовательно, все рассмотренные поверхности обладают различной внутренней геометрией.
Основные понятия внутренней геометрии. Чтобы выяснить, каков круг понятий и теорем внутренней геометрии, обратимся к планиметрии, которая, как уже говорилось, является внутренней геометрией плоскости. Ее предметом служат фигуры на плоскости и их свойства, выражающиеся обычно в виде соотношений между основными геометрическими величинами, такими, как длина, угол, площадь. Кстати, для строгого обоснования того, что угол и площадь относятся к внутренней геометрии плоскости, нужно показать, что они могут быть выражены через длины. Это действительно так: ведь угол можно вычислить, если известны длины сторон какого-либо треугольника, которому он принадлежит; площадь треугольника тоже вычисляется по его сторонам, а для вычисления площади любого многоугольника его достаточно разбить на треугольники.
