Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если к материальной точке, кроме перечисленных сил, приложена еще сила F, внешняя относительно системы, уравнение движения (6)
изменится и примет форму
т% = -Ьх-+ * (6')
Пример 3. Математическим маятником называется материальная точка массы т, подвешенная на нити, длину которой мы обозначим через I (рис. 2). Мы будем предполагать, что маятник все время остается в одной и той же плоскости — в плоскости чертежа. Силой, которая стремится вернуть маятник в положение равновесия OA, является сила тяжейти mg, действующая на материальную точку. Положение 8 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
маятника в любой момент времени t определится углом ср, на который он отклоняется от вертикали OA. За положительное направление отсчета о примем направление против движения часовой стрелки. Дуга AA1 = Iy есть путь, пройденный материальной точкой от положения равновесия А. Скорость движения V будет направлена вдоль касательной к окружности и будет иметь следующее численное значение:
Чтобы составить уравнение движения, разложим силу тяжести mg на две составляющие Q и Р, первая из которых направлена вдоль радиуса OA', а вторая—по касательной к окруЖг ности. Составляющая Q не может изменять численного значения скорости V, так как действие ее будет уничтожено сопротивлением подвеса OA'. Изменять значение скорости v может только составляющая Р. Она действует всегда в сторону положения равновесия А, т. е. в сторону убыли <р, если угол <р положительный, и в сторону роста <р, когда <р отрицательный. Численное значение P равно —mgsinip, и поэтому уравнение движения маятника будет
dv
mw = — mgsmf
Ymvrfmm,, I Г\
А'
__р\
Л \
N тд
-а- X-»¦
Рис. 2.
или
rf2<p g . й» = —Tsm?-
(7)
Интересно отметить, что решения этого уравнения не выражаются через элементарные функции в конечном виде. Запас элементарных функций оказывается слишком бедным для того, чтобы при помощи них можно было дать точное описание даже такого простого физического процесса, как колебания математического маятника. Позже мы увидим, что дифференциальные уравнения, решаемые в элементарных функциях, немногочисленны, и весьма часто случается, что исследование того или иного дифференциального уравнения, встречающегося в физике или механике, побуждает нас вводить новые классы функций, подвергать их исследованию и расширять арсенал тех функций, которые применяются при решении прикладных задач.
Ограничимся сейчас рассмотрением малых колебаний маятника, когда с малой ошибкой можно считать дугу AA' равной ее проекции х § 1. Введение
1]
на горизонтальную ось Ox и sin 9 равным <р. Тогда <p?»sin'<
уравнение движения маятника примет более простую форму
d2x— 8 „
I
(8)
Ниже мы выясним, что это уравнение решается в тригонометрических функциях и при помощи их оказывается возможным достаточно точно описать «малые колебания» маятника.
Пример 4. Акустический резонатор Гельм-гольца (рис. 3) состоит из наполненного воздухом сосуда V, объем которого равен v, с цилиндрическим горлышком F. Приближенно можно рассматривать воздух в горлышке сосуда как пробку с массой
т — psZ, (9)
,X
F » I t
Рис. 3.
где р— плотность воздуха, s — площадь сечения горлышка, I — его длина.
Если представить себе эту массу воздуха смещенной из положения равновесия на величину х, то давление воздуха в сосуде с объемом v изменится от начального давления р на некоторую величину, которую мы обозначим Ар.
Будем считать, что давление р и объем v связаны адиабатическим законом pvk — С. Тогда, если пренебречь величинами высших порядков малости, получим
Ap ¦ vk -f- pkv"-1 ¦ Av = О
и
, , Дг> hps
' rV V
(10)
(В нашем случае Дv — sx). Уравнение движения массы воздуха в горлышке можно записать так:
т
Ж
Ap-s.
(И)
Здесь Ap-s — сила давления газа, находящегося внутри сосуда, аа воздушную пробку, находящуюся в горлышке. На основании (10) я (11) получаем
Ieps
. d2x Л2 =
(12)
где р, р, V, I, к, s — постоянные.
Пример 5. К уравнению вида (6) приводит также изучение электрических колебаний в простейшем колебательном контуре. Схема этого контура изображена на рис. 4. Здесь слева изображен конденсатор 10 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
емкости С, обкладки которого замкнуты через самоиндукцию L и сопротивление R. Пусть в некоторый момент обкладкам конденсатора сообщена разность потенциалов, после чего ее источник отключен. При отсутствии самоиндукции по проводу, соединяющему обкладки конденсатора, потек бы ток, который продолжался бы до тех пор, пока потенциалы обкладок не выравнялись бы. При наличии же самоиндукции процесс пойдет иначе. В контуре возникнут электрические Honeys' бания. Чтобы вывести закон этих коле-
I-'WWWWWW->\ обозначим через v{t) или просто
g через V разность потенциалов на обклад-I g ках конденсатора в момент t, через / (t) —
TC L о силу тока в момент t, через R— сопре-
ем тивление. По известным законам физики
о о о о L О О О
