Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Существует очень много видов моделирующих машин. Моделированию поддаются многие задачи, причем каждая из них может быть моделирована несколькими способами: при помощи механизмов или электрических устройств и др. Можно создавать машины или узлы машин, моделирующие отдельные математические операции: сложение, умножение, интегрирование, дифференцирование и т. д. Моделировать можно различные расчетные формулы, например, строить машины для вычисления значений многочленов, коэффициентов Фурье при гармоническом анализе функций. Можно также строить модели, воспроизводящие числовые или функциональные уравнения. Многочисленные аналогии между вопросами из совершенно разных областей приводят к одинаковым дифференциальным уравнениям. Одинаковость уравнений дает, например, возможность моделировать тепловые явления электрическими и теплотехнические задачи решать путем электрических измерений, что несомненно выгоднее, так как электрические измерения много точнее тепловых и выполняются значительно легче. ji 2. Простейшие вспомогательные средства вычислений
Sil
Ввиду большого числа моделирующих машин описать не только сами машины, но даже принципы их устройства в небольшом числе строк невозможно. Для того чтобы читатель мог составить хотя бы некоторое представление о том, как могут моделироваться математические задачи, мы дадим краткое описание двух простых математических машин, одна из которых предназначена для интегрирования функций, другая—для приближенного решения уравнения Лапласа.
Фрикционный интегратор (рис. 6), как показывает само его название, предназначен для интегрирования функций. Он работает на трении. Принципиальная схема его устройства указана на рис. 7, где
Рис. 6. Рис. 7.
^ — станина интегратора, 2— горизонтально расположенный фрикционный диск с валом, 3 — фрикционный ролик, т. е. ролик, имеющий сглаженный край и могущий не только катиться по диску, но и перемещаться в плоскости, перпендикулярной к плоскости качения. Детали 4 и 5 составляют винтовой механизм, у которого гайка 4 связана с кареткой, несущей ролик. Если ход винта обозначить h, то при повороте винта на угол у ролик переместится на расстояние р = Ay в плоскости чертежа.
Пусть вал диска повернулся на угол doс. Точка прикосновения ролика при этом переместится на дугу ре?зс. Если ролик катится вдоль диска без проскальзывания, то угол поворота ролика будет равен
do=z^d<x. = doс.
Предположим, что вращение вала диска началось с угла ос0 и начальный угол поворота ролика был <р0. Из последнего равенства интегрированием найдем
а
? — ?о= л/
«о
Вэяв надлежащую зависимость между углами у и а, мы сможем вычислить интеграл при помощи фрикционного интегратора в широком классе случаев. При помощи интегрирующих устройств возможно механическое решение многих дифференциальных уравнений. 832
Глава XIII. Приближенные методы, и. вычислительная техника
Обратимся ко второму примеру. Пусть в плоскости дана область Q, ограниченная кривой I. Нужно найти функцию и, удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа
. _&U , (flu
дх2 ' ду4- '
- О
и принимающую на контуре I заданные значения
И Ij=/.
Введем квадратную сетку точек
xk = x0-\-kh, yk = y0-\- kh, k = 0, ±1, +2,...,
а саму область Q заменим многоугольником, составленным из квадратов. Соответственно контур I заменится ломаной линией. Перенесем
граничные значения / и / на ломаную линию. Значения неизвестной функции и в узле (Xj, yt) обозначим Ujk. При приближенном решении уравнения Лапласа в Q его обычно заменяют алгебраической системой, которая должна выполняться во всех внутренних точках области:
Ujk = 1
= 1 lUJ+1. * + UJ, *+1 + uJ-1, * + UJ. *-!'] •
Рис. 8.
Для решения полученной алгебраической системы может быть построена следующая электрическая модель. Введем в плоскости двумерную проводящую сетку, схема которой изображена на рис. 8. Сопротивления между узлами считаются одинаковыми. Предположим, что к граничным узлам сеточной области приложены напряжения, равные граничным значениям и в этих узлах. Они вызовут напряжения также во всех внутренних узлах сетки. Обозначим через Ujtk напряжение в узле (Xj, yk). Если применить к узлу (Xj, yk) закон Кирхгофа, то станет ясным, что в этом узле должно быть выполнено уравнение
l(uJ+lt * - Ujtk) + (Uj, k+l - Ujtk) +
+ (Uj^ltlc-Ujtk) + (Ujt- Ujtk)] =0,
отличающееся от соответствующего уравнения указанной выше алгебраической системы только формой записи. Значения Ujk решения алгебраи- ji 2. Простейшие вспомогательные средства вычислений
Sil
ческой системы должны в узлах сетки совпадать с напряжениями Ujk
и могут быть сняты с модели путем обычных электрических измерений.
ЛИТЕРАТУРА
Канторович Л. Б. и Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 4-е, Гостехиздат, 1952.
В книге изложены современные методы численного решения уравнений в частных производных.
Коллатд Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М>, 1953.
Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. Изд. 6-е, Гостехиздат, 1954.
