Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Функциональное уравнение мы должны заменить системой численных уравнений относительно п неизвестных величин ук (ft = 1,.. .,п). Такую замену, как правило, можно выполнить многими способами. При этом всегда следует позаботиться, чтобы решение численной системы достаточно мало отличалось от решения функционального уравнения.
Вот несколько примеров такой замены. Решая дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(x, у) методом Эйлера, мы заменяем это уравнение рекурсионной численной схемой, позволяющей приближенно находить следующее значение неизвестной функции по предыдущему значению (глава V, § 5):
При приближенном решении уравнения Лапласа Ди = -f- =O
ЖВтодом сеток это уравнение заменяют линейной алгебраической системой (глава VI, § 5) іф-f h, у)-\-и(х, yArh)Aru(x — h, у)-\-и(х, y — h) — Au(x, г/) = 0.
,' Рассмотрим еще один пример такого рода. Пусть требуется чис-рвШИТЬ интегральное уравнение
= У. + (ж«+і — ж«) / (ж«> У«)-
Ъ
(6)
У(х) = І{х) + \ К(х, s)y(s)ds.
а § 1. Приближенные и численные методы
82&
Точки, в которых мы хотим найти значения неизвестной функции у(х), обозначим через xv X2,..., х„. Для составления системы численных уравнений, заменяющих (6), потребуем выполнения этого равенства не для всех х из промежутка а только в точках Xi (t = 1.....п)
д
У{х<) = /(?) +J К(х(, s)y(s)ds.
а
Затем заменим интеграл какой-либо приближенной квадратурной суммой (по формуле трапеций Симпсона или какой-либо другой1) с узлами X1,..., Xn
ь „
[Kixi, s)y(s)dst& 2 Atj К (хІУ х^)у{ху).
« '=1
Для определения искомых значений у (Xi) получим систему линейных алгебраических уравнений
и
У (Xi)^f (Xi)+Ji Aij К (Xi, у j) у (Xj) (і = 1, 2.....я). (7)
/=і
Заметим, что во всех рассмотренных методах разыскание неизвестной функции заменялось разысканием некоторых параметров, определяющих ее приближенно. Поэтому точность этих методов зависит от того, насколько хорошо функция определяется этой системой параметров, например, насколько хорошо она может быть аппроксимирована выражением вида (7) или представлена через свои значения в некоторой системе точек. Такого рода вопросы относятся к особому отделу математики, носящему название теории приближения функций (см. главу XII). Из предыдущего видно, что теория приближений имеет очень большое значение для прикладной математики.
Сходимость приближенного метода и оценка погрешности. Остановимся подробнее на описании тех требований, которые предъявляются к приближенным методам с точки зрения вычислений. Простейшим и основным является требование возможности найти искомую величину с выбранной степенью точности.
Точность вычислений может сильно изменяться от одной задачи к другой. Для некоторых грубых технических расчетов бывает достаточной точность в две-три десятичных значащих цифры. Бблыпая часть инженерных расчетов выполняется на три-четыре десятичных знака. Значительно большей точности часто требуют научные вычисления. Вообще говоря, требования к точности с течением времени растут.
і См. главу XII, § 3. 328 Глава XIII. Приближенные методы и вычислительная техника
Особенно« значение дйя вычислений имеют поэтому такие приближенные метбды и процессы, которые позволяю* находить результаты со сколь угодно большой степенью точности. Такие методы принято называть сходЛщимися. Так как они наиболее часта встречаются в вычислительной практике и требования, которые к ним предъявляются, типичны, мы и будем в дальнейшем иметь HX в виду.
Пусть X есть точное значение искомой величины. В каждом таком методе может быть построена последовательность приближений X1, X2,___,Хл,... К решению X.
После того как указан способ построения приближений, первой задачей теории этого метода будет установление сходимости приближений к решению Xk-^-Et н если эта сходимость осуществляется не всегда, то — выяснение тех условий, при которых она имеет место.
Когда сходимость установлена, возникает более трудная и глубокая задача об оценке быстроты сходимости, т. е. оценке того, насколько быстро хп стремится к решению X при п —>со. Всякий сходящийся метод дает принципиальную возможность найти решение со сколь угодно высокой степенью точности, если мы найдем приближение хи с достаточно большим номером п. Но, как правило, чем больше п, тем больше труда нужно затратить на нахождение хп. Поэтому, если хп медленно стремится к х, то для достижения нужной точности может потребоваться затрата слишком большой вычислительной работы.
В самой математике, и особенно в ее приложениях, известно очень много случаев, когда для нахождения решения х можно указать сходящийся процесс, но оказывается, что он потребовал бы такого количества вычислительного труда, выполнить который невозможно даже при наличии современных быстродействующих машин1.
1 Вот простые примеры медленно сходящихся вычислительных процессов. 1111
Известно, что ряд -j--"т + т —T- + ••• сходится, и сумма его равна натура ль-
1 6 О 4
ному логарифму числа 2. Мы можем приближенно найти In 2 при помощи этого
