Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
-1 Xs
Л
X1I
Рис. 4.
Xt
¦ COS
2к
2 («+ 1)
(Л = 0,1, ..., л).
Соответствующий этим узлам интерполяционный многочлен, носящий имя Чебышева, обладает тем свойством, что он равномерно при неограниченном возрастании п сходится к порождающей его гладкой функции, т. е. функции, которая не только сама непрерывна, но, кроме того, имеет непрерывную первую производную. График такой функции есть непрерывная кривая с непрерывно изменяющейся касательной. На рис. 4 дано распределение нулей многочлена Чебышева в случае л = 5.
Что касается произвольных негладких непрерывных функций, то тут дело обстоит хуже; оказывается, вообще не существует такой последовательности узлов интерполяции, чтобы соответствующий ей интерполяционный процесс сходился для любой непрерывной функции (теорема Фа бер а). Иначе говоря, каким бы способом мы ни делили отрезок [—1, 1] на части, получая при этом неограниченно увеличи-
1 Нулей функции / (X) называется всякое значение хк, для которого /(Zfr) = O. Подробнее о многочленах Чебышева см. в § 5. "296 Глава XII. Приближение функций
кающееся число узлов, всегда найдется такая непрерывная на отрезке функция /(х), что многочлены, последовательно интерполирующие ее в этих узлах, не будут к ней сходиться. К ще для математиков середины прошлого столетия этот факт, если бы он был тогда известен, мог звучать парадоксально. Конечно, тут дело заключается в том, что среди непрерывных негладких функций имеются чрезвычайно «плохие» функции, например не имеющие производной во всех точках отрезка, где они заданы. Вот среди этих функций и можно обнаружить такие,! для которых заданный интерполяционный процесс расходится. Для1 них все же можно предложить эффективные способы приближения их' многочленами, представляющие собой некоторые видоизменения изложенных выше интерполяционных процессов, но на этом мы останавли-| ваться не будем.
В заключение заметим, что можно интерполировать функции не обязательно алгебраическими многочленами. Существуют, например, хорошо разработанные как с практической, так и с теоретической стороны методы интерполирования тригонометрическими полиномами.
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интерполирование функций получило широкое применение в вопросах, связанных с приближенным вычислением интегралов. Для примера выведем одну формулу приближенного выражения определенного интеграла — формулу Симнсона, которая получила особенно большое распространение в прикладном анализе.
Пусть требуется вычислить приближенно определенный интеграл на отрезке [а, 6] от функции /(х), изображенной графически на рис. 5. Величина его точно равна площади криволинейной трапеции аАВЬ. Пусть С есть точка нашего графика с аб-а + Ъ
Рис. 5.
сциссой C= —. Проведем через точки А, В и С параболу 2-й степени. Как мы знаем из предыдущего параграфа, эта парабола есть график многочлена 2-й степени, определяемого равенством
Р № — 2,P Kx с) (х — Ъ) 2/<> — 2 (х ~ а) — Ь) У\ + (х — а) — с)
где
H =
b — а
# -3. Приближение определенных интегралов
297
Употребляя терминологию, которой мы пользовались в предыдущем параграфе, можно сказать, что многочлен 2-й степени P (х) интерполирует /(х) в точках, имеющих абсциссы а, с, Ь. Если график функции /(х) на отрезке [а, 6] изменяется нлавно и сам отрезок невелик, то многочлен P (х) всюду будет мало отличаться от / (.с); это в свою очередь приведет к тому, что мало будут отличаться и их интегралы, взятые на [a, b]. Ha этом основании мы можем считать эти интегралы приближенно равными
Ij h
[ f(x)dx a j P (х) dx,
и а
или, как говорят, второй интеграл считать приближением первого. Простые вычисления, которые предоставляем проделать читателю, показывают, что
ft h
) (х — с) (.т—b)dx=^ka, — j (х — а)(х — b)dx = -^lrs\ и <1 л
j (х — a) (X — с) dx = ~ /г.
я
Отсюда
к
J P (X) dx = А [/ (а) + 4/ (с) 4- / (6)1.
а
Итак, наш определенный интеграл можно вычислить по следующей приближенной формуле:
h
j / (X) dx « А [/ (а) + 4/ (с) + / (6)].
а
Это и есть формула Симнсона.
Вычислим для примера по этой формуле интеграл от sinx на отрезке [0, тс]. Тогда
А=|-, /(«) = SitlO = O, /(C) = Siny=I, / (6) = Sin 7Ї = 0,
2
и, следовательно, [/ (а) 4/(с) -f-/(6)] = тс = 2,09.. . С другой стороны, этот же интеграл мы можем найти точно
т: it
Jsin X dx = — cos X j = 2.
О '(1
Ошибка не превышает 0,1. "298
Глава XII. Приближение функций
Если интервал [0, -] разбить на две равные части и к каждой из них отдельно применить нашу формулу, то получится
я
I sin X dxz& j^sin 0 + 4sin + siuIf] = Г5 Т~ + 1I ^ ^001'
о
TI
[sinxdx^ 1,001.
Таким образом,
J sin XdX^ 2,002;
ошибка уже теперь гораздо меньше, примерно 0,002.
На практике, чтобы приближенно вычислить определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [а, Ь], этот отрезок делят на четное число . п частей точками a = X0 X1 ... = Ь и последовательно применяют формулу Симпсона сначала к отрезку [х0, х2], затем к отрезку [X2, X4] и т. д. В результате получим следующую общую формулу Симпсона: ь
