Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
I* "
зом, что, как правило, отклонения частоты — от вероятности р имеют \
порядок —=-. Такая пропорциональность точности действия вероят-
" Vre
ностных закономерностей квадратному корню из числа наблюдений типична и для многих других вопросов. Иногда говорят даже в порядке несколько упрощенной популяризации о «законе квадратного корня из п» как основном законе теории вероятностей. Полную отчетливость эта мысль получила благодаря введению великим русским математиком П. JI. Чебышевым в систематическое употребление метода сведения различных вероятностных задач к подсчетам «математических ожиданий» и «дисперсий» для сумм и средних арифметических «случайных величин».
Случайной величиной называется величина, которая в данных условиях S может принимать различные значения с определенными вероятностями. Для нас достаточно рассмотреть случайные величины, могущие принимать лишь конечное число различных значений. Чтобы указать, как говорят, распределение вероятностей такого рода случайной величины достаточно указать возможные ее значения X1, х2, ..., Xf и вероятности
Pr = P {? = *,}.
В сумме эти вероятности по всем различным возможным значениям величины ? всегда равны единице:
±Pr = 1.
г =
Примером случайной величины может служить изучавшееся выше число [л положительных исходов при п испытаниях.
Математическим ожиданием величины \ называется выражение
М(5)= І; PrXr, jj 'і. Закон больших чисел и предельные теоремы
26)
а дисперсией величины \ называют математическое ожидание квадрата отклонения ? — М(?), т. е. выражение
D(E)= 2 />г(*r-M(S))2.
г = 1
Корень квадратный из дисперсии
- «6=\/D(5)~
называется средним квадратическим отклонением (величины от ее математического ожидания М(^)).
В основе простейших применений дисперсий и средних квадрати-ческих отклонений лежит знаменитое неравенство Чебышева
(21)
Оно показывает, что отклонения S от M (?), значительно превышающие <у5, встречаются редко.
При образовании сумм случайных величин
? = + ..-1-5«
для их математических ожиданий всегда имеет место равенство
M (I) = M (?d)) + M (?2)) -I- ... 4- M (?<">). (22)
Аналогичное равенство для дисперсий
D (E) = D (^)) + D (?<2>) -f ... 4- D (?<">) (23)
верна только при некоторых ограничениях. Для справедливости равенства (23) достаточно, например, чтобы величины и ^ с различными номерами не были, как говорят, «коррелированы» между собой, т. е. чтобы при і =^= j выполнялось равенство1
M {(?<*'> — M (?(<>)) (?0) — M (?<у>))} = 0. (24)
1 Коэффициентом корреляции между величинами SW и SW называется выражение
P _ M {(№ - M (1'0))(;'У) - M (1Щ))
Если if(f) >0 в O1 то условие (24) равносильно тому, что R = 0.
Коэффициент корреляции R характеризует степень зависимости между случайными величинами. Всегда причем Д=±1 только при наличии лвнейной связи
*1 = а? + Ь (а Ф 0). Для независимых величин R = O. '268
Глава XI. Теория вероятностей
В частности, равенство (24) соблюдается, если величины ?<*> и независимы между собой1. Таким образом, для взаимно независимых слагаемых всегда действует равенство (23). Для средних арифметических
2:=4(94-^+.-.+?4)
из (23) вытекает
D К) = -L (D {Щ + D (5«) + . . . + D ($'">)). (25)
Предположим теперь, что для всех слагаемых дисперсии не превосходят некоторой постоянной
Тогда по (25)
DKX-T.
и в силу неравенства Чебышева при любом t
P {К-М(0|<-^}> 1 —4" <26>
Неравенство (26) содержит в себе так называемый закон больших ^исел в форме, установленной Чебышевым: если величины ?<*) взаимно независимы и имеют ограниченные дисперсии, то при возрастании я их средние арифметические Xt все реже заметно отклоняются от своих математических ожиданий М(?).
Более точно говорят, что последовательность величин
P1-----• •.
подчиняется закону больших чисел, если для соответствующих средних арифметических ? и при любом постоянном г ]> О
Р{|С-М('С)|<е}^1 (27)
при п—* со.
Чтобы получить из неравенства (26) предельное соотношение (27), достаточно положить
1 = 5 С~"
1 Независимость двух случайных величин S и kj, способных принимать, соот-
ветственно, значения X1, х2, . . . ,хт и уг, 2/2, ... , уп, по определению обозначает,
что при любых і и / события Ai=Ii = Xi] и Bj = (к) = г/у} независимы в смысле
определения, данного в § 2. jj 'і. Закон больших чисел и предельные теоремы
26)
Большой ряд исследований А. А. Маркова, С. Н. Бернштейна, А. Я. Хинчина и других посвящен вопросу возможно большего расширения условий применимости предельного соотношения (27), т. е. условий применимости закона больших чисел. Эти исследования имеют принципиальное значение. Однако еще более важным является точное исследование распределения вероятностей отклонений ?— M (О-Великой заслугой русской классической школы в теории вероятностей является установление того факта, что при очень широких условиях асимптотически (т. е. со все большей точностью при неограниченно растущих п) справедливо равенство
