Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
п
г=1
Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем
т. е. если f(t) — количество денег, поступивших в Сбербанк в
т
момент времени t, то J f(t) dt есть общее количество денег, по-
о
ступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т].
Поскольку f(t) ^ 0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t).
Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени. Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].
Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:
0 = t0 < ti < t2 < ... < tn-i <tn = T.
12.5. Свойства определенного интеграла
231
Объем продукции AQi, произведенной за промежуток времени [ti-i, ti], приближенно может быть вычислен по формуле
AQ«/(Cj)Ati,
где Ci Е [ti-ii ti], Ati = ti — ti-ij i = 1, 2, ..., n (точность этого равенства тем выше, чем меньше Ati). Тогда
При стремлении max Ati к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому
maxAtj—>-0 .—: г=1
Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем
т
Q =
/(*) dt,
т. е. если f(t) — производительность труда в момент времени ?, т
то J f(t)dt есть объем выпускаемой продукции за промежуток о
времени [О, Т].
Поскольку /(?) ^ 0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции /(?), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т].
12.5. Свойства определенного интеграла
На протяжении всего параграфа будем предполагать интегрируемость рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.
Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.
232
Гл. 12. Определенный интеграл
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
kf(x)dx = к
f(x)dx,
где к — некоторое число.
? Отрезок [а, Ь] разобьем на отрезки [жг-ъ xi] и выберем точки С{ на каждом из отрезков разбиения. Составим интегральную сумму
п г = 1
для функции к f(x). Используя распределительный закон умножения чисел, имеем
Y,kf(ci)Axi = к Y,f(a)bxi-
г=1 г=1
Переходя к пределу при maxAxi —> 0 в левой и правой частях последнего равенства и вынося множитель к в правой части из под знака предела, получаем
п п
lim Vfc f(ci) Axi = к lim V/(c;)A^.
тахДж^О .—; тахАж^О .—
t=l
t=l
По определению определенного интеграла первый из пределов ь ь
равен J к f(x) dx, второй равен к J f(x) dx. Ш
а а
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.
(f(x)±g(x))dx =
f(x)dx ±
g(x) dx.
? Справедливо равенство
п п п
^ (f(ct) ± д(сг)) Дя* = X) Яс«) Axi ± ЕА^г-
г=1
г=1
г=1
12.5. Свойства определенного интеграла
233
Переходя в этом равенстве к пределу при max Axi —> О, получаем
п
тахЛж^—>-0 .—: г=1
п п
тахЛж^—>-0 .—: тахЛж^—>-0 .—:
г=1 г=1
Откуда
{f(x)±g(x))dx =
f(x)dx ±
g(x) dx.
Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т. е. при любых а, 6, с:
f(x) dx =
f(x)dx +
f(x)dx.
При a < с < b это равенство имеет простой геометрический смысл (см. рис. 12.4, а). Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла
ebb
f(x) dx = Si,
f(x) dx = S2,
f(x) dx = S,
а б
Рис. 12.4. Третье свойство определенного интеграла
234
Гл. 12. Определенный интеграл
где S — площадь всей заштрихованной фигуры. Тогда при сделанных предположениях третье свойство утверждает наличие следующего очевидного соотношения между площадями:
S = S1 + S2.
Другие случаи сводятся к данному. Например, если а < b < с, то согласно рис. 12.4, б):
b с с
f(x)dx = ?i = S - S2 =
f(x)dx
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x) dx.
4. Если на отрезке [a, 6], где a < 6, f(x) < g(x), то и b b
f(x)dx ^
g(x) dx,
т. е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
? Из неравенства f(x) ^ д(х) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:
п п
^2f(ci)Axi ^ ^g(ci) Axi. i=i i=i
Переходя к пределу при max Axi —> О, получаем
п п
тахДж^—>-0 .—: тахДж^—>-0 .—:
г=1 г=1
f(x)dx ^
д(х) dx.
Следствие. Пусть на отрезке [а, 6], где а < 6, т ^ f(x) ^ М, где т и М — некоторые числа. Тогда
m(b- а) ^ f(x) dx ^ М (Ь - а).
12.5. Свойства определенного интеграла
235
? По свойству 4 имеем ь ъ
mdx <
f(x)dx^ Mdx.
а
Вычислим J т dx и J М dx. Для этого докажем сначала равен-
а а
Ъ Ъ
ство
dx = b — а.
Подынтегральная функция равна единице: f(x) = 1; интегральная сумма для нее выразится формулой
п п
Y,f(ci)Axi = Y,^i =
t=l 1=1
= (xi - a) + (x2 - xi) + (xs - x2) + ... + (xn-i - xn-2) +
+ (b - xn-i) = b - a.
Далее, согласно свойству 1 имеем
