Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
223
интегрирования в элементарных функциях. В XIX веке О. Коши аналитически доказал существование интеграла непрерывной функции и перестроил дифференциальное и интегральное исчисление, заложив в качестве их основы понятие предела функции.
Дальнейшие обобщения понятия интеграла связаны с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А. Лебегом.
12.2. Понятие определенного интеграла
Рассмотрим непрерывную функцию у = f(x), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ох, хотя и может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b — такие числа, что функция определена при а ^ х ^ Ь.
Кривая у = f(x) и прямые х — а. х — b w у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до 6, или криволинейной трапецией.
Если требуется вычислить площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности.
Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, 6]; он имеет высоту f(x) и бесконечно
У.
О
Рис. 12.1. Криволинейная трапеция
224
Гл. 12. Определенный интеграл
a dx
/(*)
О
a Axj
f(Ci)
Рис. 12.2. Вычисление площади криволинейной трапеции
малую ширину dx; площадь его равна, следовательно, f(x)dx. Общая же площадь S есть сумма всех таких площадей.
Напомним, Лейбниц писал S = J f(x) dx. Символ J означал у
него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернул-ли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак J именовать интегралом от
латинского слова integralis (целостный).
Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:
S =
f(x)dx.
Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.
Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь] на п промежутков точками жо, жъ ..., жп:
а = хо < х\ < Х2 < ... < xn-i < хп = Ь.
На каждом отрезке разбиения выберем точку С{ и положим
Дж^ — Х{ Х{—\,
г = 1, 2, ... , п.
12.2. Понятие определенного интеграла
225
Тогда произведение f(ci) Axi равно площади прямоугольника Si со сторонами f(ci) и Axi. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида
п
Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Sn стремится к площади криволинейной трапеции S. Введем теперь точное определение.
Пусть на отрезке [а, ь] задана функция у = f(x) (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, ь] на п промежутков точками жо, Ж1, ..., жп:
а = Xq < Х\ < Х2 < ... < xn-i < хп = ь.
На каждом отрезке разбиения [ж^-ъ xi] выберем точку С{ и положим
Axi — Х{ Xi—i, i — \. 2, п. Сумму вида
п
Sn = Y,f(Ci)Axi
i=l
назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, ь]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, ь] точками жо, х\, ..., хп, так и от выбора точек со, ci, сп на каждом из промежутков разбиения [ж«_1, ж«], г = = 1,2,..., п.
Обозначим через max Axi максимальную из длин отрезков [xi-i, х^, где г = 1, 2, ..., п.
Определение. Пусть предел интегральной суммы
п
Sn = Y,f(ci)&Xi
i=l
при стремлении max Axi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х\, Ж2, ... и с\, С2, .... Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(x)
8 Я. М. Ахтямов
226
Гл. 12. Определенный интеграл
на [а, Ь] и обозначается
f(x)dx,
а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, Ь], т. е.
f(x)dx= lim У*/(с*)Дж*.
max Дж; —>-0 .—: г=1
Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс». При этом число а называется нижним пределом, число b — его верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «предел функции»); функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным
ь
выражением, а задача о нахождении J f(x) dx — интегрировани-
а
ем функции f(x) на отрезке [а, Ь].
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.
