Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
П'(х) = х2 - 3000 х + 2000000
нулю, получаем уравнение
х2 - 3000 х + 2000000 = 0.
Корни этого уравнения х\ = 1000, х<х = 2000. Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при х = 1000:
Птах = П(1000) « 833 333 333 ден. ед. А
V Пример 4 (Оптимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х х , а функция затрат на производство товара—формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
10.1. Предельные величины в экономике
185
Решение. Прибыль определяется формулой Щх) = R(x) - С(х),
откуда
Щх) = 16 ж -2х2 -1.
Приравнивая производную прибыли П'(х) = 16 — 4 ж нулю, получаем х = 4. Проверка показывает, что эта точка является точкой максимума. Таким образом, оптимальный уровень производства х = 4. При этом значении максимальная прибыль составит Птах = 31. А
V Пример 5 (Оптимизация налогообложения предприятий х) ). Пусть, как и в предыдущем примере, функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х х2, а функция затрат на производство товара—формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается.
Решение. Пусть t (tax) — налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с х единиц продукции составит Т = = tx. В этом случае функция прибыли будет иметь вид
Щх) = R(x)-C(x)-tx.
Требуется определить: каким должен быть налог ?, чтобы величина суммарного налога Т со всей продукции была наибольшей?
Поскольку R(x) = 16 х х , а С(х) = х2 + 1, то функция прибыли имеет вид
Щх) = 16х-2х2 -tx-1.
Как и в предыдущем примере, условие максимума прибыли П'(х) = 0; отсюда получаем значение ж, максимизирующего прибыль с учетом пока неизвестного налога t:
16-4ж-? = 0, ж = 4-</4.
Подставим полученное значение объема продукции в величину суммарного налога Т = tx. Получим
Т = t(4-t/4).
х) Пример взят из книги [19, с. 131].
186 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
Найдем теперь условия, при которых величина Т будет максимальной:
Далее, при t = 8 имеем ж = 4 — ?/4 = 4 — 8/4 = 2. Отсюда следует, что при налоге t = 8 максимальная величина прибыли достигается при х = 2:
а оптимальный (с точки зрения налоговой службы) сбор налога
Интересно сопоставить эти цифры (х = 2, Птах = 7) с цифрами при отсутствии налогообложения. При t = О решение задачи на максимизацию прибыли дало следующие результаты (см. предыдущий пример): х = 4, Птах = 31.
Вывод: уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит при этом к увеличению прибыли от ее реализации.
Понятно, почему производители прикладывают столько усилий, чтобы снизить ставку налога. А
V Пример 6 (Минимизация средних издержек). Доказать с помощью теоремы Ферма экономический закон, согласно которому при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек.
Решение. Уровнем наиболее экономичного производства является такой, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Средние издержки определяются как АС = С(х)/х, т. е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. По теореме Ферма в точке минимума функции С(х)/х производная этой функции равна нулю. Следовательно,
T = t(4-t/A),
T'(t) = О, =>. t = 8.
Птах = П(2) = 16 • 2 - 222 - 8 • 2 - 1 = 7,
T = t (4 - t/4) = 8 • (4 - 8/4) = 16.
откуда
или MC
С'-х-С = 0, С' = С/х, АС, что и требовалось доказать.
10.2. Использование логарифмической производной в экономике
187
Вывод: при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек. А
10.2. Использование логарифмической производной в экономике
Пусть y(t) — величина вклада в момент времени t (в годах). Можно ли определить (приближенно) годовую ставку банковского процента р по функции у(?)?
Если проценты начисляются непрерывно, то, как мы уже знаем из п. 6.4,
y(t) = yoept?100,
где р — ежегодный процент прироста вклада, а г = р/100 — номинальная ставка за год. Найдем логарифмическую производную от величины вклада:
(In y)f = (In у0 + rt)' = г.
Вывод: ставка банковского процента г совпадет с логарифмической производной от величины вклада.
Таким образом, логарифмическая производная денежного вклада характеризует его доходность. Это верно и в более общем случае, когда процентная ставка вклада постоянно меняется. В этом случае говорят, что логарифмическая производная денежного вклада выражает его мгновенную доходность.
Рассмотренный пример — не единственное применение логарифмической производной. С ее помощью можно получить мгновенную оценку доходности какого-либо актива.
Пусть A(t) — стоимость некоторого актива А в момент времени ?, г — доходность от вложения денег в другие активы. Считаем, для простоты, что г не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив Л? Для ответа на данный вопрос найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше г. Так как мгновенная доходность А совпадает с логарифмической производной его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством
