Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9.23. Графики двух функций
Решение.
1. Область определения функции
D(y) = {х х е (-оо, 4) U (4, +оо)}.
2. Функция не является периодической.
3. Функция общего вида.
4. Найдем точки пересечения графика с осями координат и определим интервалы знакопостоянства функции. Если у = = (х2 + 20) /(ж — 4) = 0, то х = 0; точек пересечения с осью Ох нет. Если х = 0, то у = (О2 + 20)/(0 - 4) = -5. Таким образом, точка с координатами (0, —5) является точкой пересечения с осью Оу. Это единственная точка пересечения с осями координат. Интервалы знакопостоянства: в интервале (—оо,4) функция отрицательна, в интервале (4, +оо) — положительна. Найдем точки разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4.
5. Найдем асимптоты. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
lim f(x) = lim (х + 20)/(ж - 4) = -оо,
ж—И—0 ж—И—О
lim fix) = lim (ж + 20)/(ж - 4) = +оо.
178
Гл. 9. Исследование функций
Таким образом, прямая ж = 4 — вертикальная асимптота графика.
Исследуем график на наличие наклонных асимптот.
, r f(x) ж2+ 20 1 + 20/х2
k = 11 г г 1 - = 11 г г 1 —--— = 11 г г 1 -— = 1;
ж->-±оо ж ж->-±оо х [X — 4) ж->-±оо 1 — 4/Ж
I) = lim (fix) — к х) = lim | ^ — 1 • ж ) =
a;->d:oow 4 У У ж->±ос \ Ж-4 у
ж2 + 20-ж2 + 4ж 4ж + 20 = 11 г г 1--- = 11 г г 1 -— = 4.
ж->-±оо х — 4 ж->-±оо х — 4
Таким образом, прямая у = ж + 4 — двусторонняя наклонная асимптота графика.
6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.
, _ fx2 + 20\' _ 2 х (х -4) - (ж2+ 20) _ ж2-8ж-20> ж-4 ) ~ (х - 4)2 (ж - 4)2 '
Ж' 8ж 20 = о, ж2 - 8ж - 20 = 0; хх = -2, ж2 = 10. (ж-4)
Производная функции обращается в нуль в точках ж = — 2 и ж = 10 и не существует в точке ж = 4. В интервале (—оо, —2) производная положительна (f'(—3) > 0), следовательно, функция строго возрастает. В интервалах (—2, 4) и (4, 10) производная отрицательна, функция строго убывает. В интервале (10, +оо) производная положительна, функция строго возрастает.
При переходе через точку ж = —2 производная функции меняет знак с плюса на минус, следовательно, ж = —2 — точка строго локального максимума. При переходе через точку ж = 10 производная меняет знак с минуса на плюс, ж = 10 — точка строгого локального минимума: утах = у(—2) = —4; ут-т = у(10) = 20.
7. Исследуем направление выпуклости графика функции, найдем точки перегиба.
// _ fx2-Sx-20\_ (2ж-8) (ж -4)2 - 2 (ж -4) (ж2-8ж-20)
(ж - 4)2 ) (ж - 4)4
_ 2 ж (ж-4) - (ж2+ 20) _ 36
(ж - 4)4 (ж - 4)
з •
9.8. Построение графика функции на компьютере
179
У у?
40 ¦ 1
20- 1 / / /
/ - 1 /
1 1 \ / -20 | 1 20 1 40
f -20-/ j
Рис. 9.24. График функции у = (х2 + 20)/(х - 4)
Вторая производная не обращается в нуль и не определена лишь в точке разрыва х = 4. Поскольку точка перегиба должна быть точкой графика функции, то график функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах выпуклости функции. В интервале (—оо, 4) вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. В интервале (4, +оо) вторая производная положительна, кривая выпукла вниз.
8. Вычислим значения функции для некоторых значений ее аргумента: /(-2) = ((-2)2 + 20)/(-2 - 4) = -24/6 = 4; /(-1) = 21/5 = 4,2; /(1) = 21/3 = 7; /(2) = -24/2 = 12.
9. График функции изображен на рис. 9.24. А
Задача 2. Построить график функции у = 2 х3 /(х2 — 4). Ответ: График функции изображен на рис. 9.25.
9.8. Построение графика функции на компьютере
Для построения с помощью Maple графика функции у = f(x) в интервале (а, Ь) достаточно набрать на компьютере команду
>plot(f(х),х=а..Ь);
и нажать клавишу Enter.
V Пример. Построить график функции у = х sin х в интервале (—9, 9).
180
Гл. 9. Исследование функций
У
8-V / / 1 / 1 / . / 1 /
1 1 1 1 -6 -2i / / 1 / | / , / / -8- 1 1 1 1 i2 6
Рис. 9.25. График функции у — 2 х3/(х2 — 4)
Решение. Набираем команду
>plot(x*sin(x), х=-9..9);
и нажимаем клавишу enter. Компьютер тут же нарисует график, изображенный на рис. 9.26. А
Рис. 9.26. График функции у = х sin х
Как это ни парадоксально ... наиболее непосредственное влияние идеи Ньютона оказали в области экономики и политики.
Д. Бернал
Глава 10
Применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере
10.1. Предельные величины в экономике
Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые из них: предельная стоимость, предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки.
Пусть у(х) — затраты на изготовление х экземпляров некоторого продукта. Тогда у'{х) выражает скорость изменения затрат при изменении количества продукта. Эта производная называется предельной (маржинальной) стоимостью.
