Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Ax = qC- г В, Bx+2iZB = qt-(A-D)q, Cx + 2iZC = rt + {A-D)r, (-D)x=qC-rB.
Без потери общности в дальнейшем мы будем считать А = —D. Таким образом,
(1.2.8а) Ax = qC-rB,
(1.2.8b) Bx + 2it,B = qt — 2Aq,
(1.2.8с) Cx- 2i'QC = rt + 2Ar.
Теперь нам надо решить систему уравнений (1.2.8) относительно А, В, С. Это гарантирует совместность (1.2.7а, Ь). Систему
(1.2.8) можно решать, если выполнено некоторое условие, которое на самом деле является эволюционным уравнением. Известно несколько методов получения этого уравнения. Опишем процедуру, связанную с разложением в ряд. В разд. 1.5 выведено (с использованием операторного метода) общее эволюционное уравнение. Отправной точкой другого подхода, предложенного Захаровым и Шабатом, является линейное интегральное уравнение. Этот подход мы обсудим позже в разд. 3.6.
Поскольку собственное значение Z является свободным параметром (он может быть малым), мы попытаемся отыскать точное решение уравнения (1.2.8), являющееся конечным степенным рядом по Простейшее разложение, приводящее к интересным нелинейным уравнениям, имеет вид
(1.2.9) А = A2Z? + AiZ + A0,
В = B2Z2+ B^+ B0, С = C2Z2+ C1Z +C0.
Подставим (1.2.9) в (1.2.8) и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях Z- Коэффициенты при Z3 [см. (1.2.8Ь) и (1.2.8с)] немедленно дают равенства B2 = C2 = 0. Для Z2 из (1.2.8а) следует A2 = Ct2=const, а из (1.2.8Ь, с) получаем Вх = іад, C1 = ia2r соответственно. Коэффициенты при Z приводят к следующим соотношениям. Из (1.2.8а) имеем Ai = а\ = const. Для 1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка
23
простоты положим щ = 0 (если а, Ф 0, то получится более общее эволюционное уравнение). Тогда (1.2.8Ь) дает B0 = = —a2qx/2; (1.2.8с) дает С0 = а2гх/2. И наконец, коэффициенты при дают A3 = a2qr/2 + Щ, снова а0 = const и мы положим а0 = О. Тогда (1.2.8Ь) и (1.2.8с) в порядке дают уравнения
(1.2.10а) — j a2qxx = qt — a2q2r,
(1.2.10b) = ^+ 1W2-
Это пара связанных нелинейных эволюционных уравнений, которые напоминают нелинейное уравнение Шрёдингера. Действительно, нелинейное уравнение Шрёдингера получится, если мы положим г = +<?*. При этом уравнения (1.2.10а) и (1.2.IOb) будут совместными тогда и только тогда, когда а2 = ia, а вещественно. Если мы положим а = 2, то получим уравнение
(1.2.11) iqt = qxx+2q\.
При положительном знаке в этом уравнении могут быть найдены солитонные решения, если же знак отрицателен, то не существует солитонных решений, быстро убывающих на оо (поскольку оператор (1.2.7а) в последнем случае является эрмитовым) .
Итак, если мы выбрали задачу на собственные значения для оператора (1.2.7а) и связанную с ней временную зависимость (1.2.7Ь), тогда условием их совместности являются (1.2.8). В этом примере мы берем разложение (1.2.9) и, подставляя его
в (1.2.8), дедуктивно и систематически выводим, что при г = — +q*
А = + 2il2 ± iqq\
(1.2.12) B = 2qi + iqx,
C= + 2qX±iq*x.
Эти функции удовлетворяют (1.2.8) тогда, когда q(х, t) удовлетворяет нелинейному уравнению Шрёдингера (1.2.11).
Такую процедуру можно выполнить для любого полинома по Мы приведем результаты в наиболее важных случаях. Заинтересовавшийся читатель может сам их проверить, используя описанные выше идеи. В случае полиномов третьей степени по t мы имеем
А = а?3 + а?2 + j (Mr + ? + ~ a2qr —
— "X (qrx — rqx) + аа, 24 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
(1.2.13) B = ia3q?2 + (ia2q — azqx) ? + шtf +
+ у аз'72'' — у a2qx — j a3qxx,
С = iabrl2 + (ia2r + йзг*) ? + ia{r + j a3r2q +
, 1 і "Т a2rx "J аЗгхл;>
и эволюционные уравнения имеют вид (1.2.14а) qt +j Cbiqxxx-Qqrqx) +
+ т а2 (<7*х — 2cI2r) — iaIQx — 2а0<7 = о,
(1.2.14b) П +j Cbirxxx-Srqrx)—
— j а2 (гXX — 2r2q) — іщгх + 2a0r = 0.
Эволюционные уравнения, интересные с физической точки зрения, возникают как частные случаи. Возьмем aQ = а,\ = 0, а3 = = —4і и г = —1, в результате получим
(1.2.15) qt + bqqx + qxxx (КдФ). Если r = + q, то
(1.2.16) qt±bq2qx + qxxx = 0 (мКдФ).
Отметим, что если взять ?o = Oi = а3 = 0, а2 = —21, и г = = zFq*, мы получим (1.2.11).
Тем же способом, которым мы получили эволюционные уравнения, соответствующие разложению А, В, С по положительным степеням можно также найти уравнения, соответствующие разложению по обратным степеням ? (или по положительным и отрицательным). Например, полагая
A=aix, Ш, B = bix, /)/?, С = с(х, O/S,
получаем
(1.2.17) ax=j(qr)t, qxt = — \iaq, rxt = — 4iar. В частных случаях
(12 18) 0 = T C0S b ~ С = T sin q = — г = — uj2, Uxt = SiriU (уравнение sin-Гордон),
и
(12 19) я ch и, b = — c = i/4shu, q = r = -y-, Uxt = s\\u, (уравнение sh-Гордон). 1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка 25
Перечисленные выше уравнения представляют собой всего лишь несколько примеров, полученных при помощи процедуры разложения.
Для г = —1 имеется другой подход, использующий задачу рассеяния для оператора Шрёдингера и подходящую ассоциированную с ним временную зависимость, а именно:
