Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Солитоны в бесстолкновительной плазме были ранее открыты и систематически изучены P 3. Сагдеевым в 1956, 1958 гг. —Прим. ред. 14
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
дило Ферми, Паста и Улама предпринять численное изучение одномерной ангармонической цепочки' осцилляторов. Они предполагали, что из-за нелинейности релаксация любого гладкого начального возмущения быстро приведет к равнораспределению энергии по степеням свободы системы.
Эти авторы рассматривали цепочки частиц одинаковой массы, каждая из которых соединена с ближайшими соседями нё-линейными пружинами, сила натяжения которых зависит от растяжения по закону F(A) = —К (А+ аА2). Уравнения движения имеют вид
jj ^ уи и = (Уш + У і-1 — 2ij1) + а [{у iJr\ — у{)2 - (Уі—Уі-і)2],
/=1,2,...,/^-1, y0 = yN = 0,.
а типичное начальное условие у. (0) = sin in/N,- yf\ = 0 (обычно выбиралось N = 64). Здесь у,- означает отклонение г-й частицы от равновесия.
Процитируем Ферми, Паста и Улама [153].
«В результате наших вычислений обнаружились явления, которые с самого начала удивили нас. Вместо последовательного непрерывного потока энергии от первой моды к высшим .. происходил энергообмен лишь между несколькими низшими модами... Почти не наблюдалось тенденции к равнораспределению энергии по степеням свободы за даннре время. Иначе говоря, в системе определенно не было перемешивания».
Для того чтобы понять это явление, Краскал и Забужский (1963) [300] рассмотрели непрерывную модель. Полагая расстояние между пружинами h, tr = <W (со = л/К/т, x' — x/h, причем X = ih, и разлагая уі±\ в ряд Тейлора, приводим уравнение (1.1.1) к виду (штрихи у t и л: опускаем)
A2
(1-1.2) ytt = ухх + вухухх + Ухххх + О (eh.2, h4),
где є == 2аh. Дальнейшая редукция возможна, если мы ищем асимптотические решения (простые волны) вида
у ~ ф (X, Т), X = x~U T = ^-,
тогда (1.1.2) дает
(1.1.3) Фхг + ФAx + б2Фххи + 0 (A2> 4")=0'
где б2 = /г2/ 12є. Положив и = ср*, получим, что уравнение (1.1.3) сводится к уравнению, открытому в 1895 г. Кортевегом и де Фризом [291]:
(1.1.4) U7 + UUx + VUxxx = 0.
Краскал и Забужский решали на ЭВМ уравнение (1.1.4) с синусоидальными начальными условиями. При малом б2 крутизна 1.1. Введение
15
«горба» начального условия возрастала, пока не становился важным член с третьей производной. На этой стадии решение развивается в специфическую осцилляторную структуру. Возникают осцилляции, взаимодействующие между собой вполне определенным и довольно неожиданным способом, который мы обсудим ниже. Именно попытки понять природу этих осцилляций привели к современному пониманию свойств решений уравнения Кдф. (Интересно отметить, что к исследованию уравнения
(1.1.4) при малых б2 вновь обратились в 1979 г. Лаке и Левер-мор [321].)
Далее мы будем работать с уравнением КдФ, записанным в следующей форме:
(1.1.5) K(u) = ut + 6uux+uxxx=0.
Уравнение (1.1.5) эквивалентно (1.1.4) (отметим, что перед каждым из трех членов уравнения можно подходящим изменением масштаба независимых и зависимых переменных поставить произвольные постоянные коэффициенты).
Краскалу и Забужскому был известен давно обнаруженный факт, что КдФ обладает частным решением в виде уединенной волны неизменной формы
(1.1.6) и = 2&2/ch2 [k (х — Ak2t —- X0)],
где k и Xo являются константами. Отметим, что скорость соли-тона Ak2 пропорциональна его амплитуде 2k2. Что было неизвестно предыдущим исследователям, так это удивительный факт упругости взаимодействия солитонов. Пытаясь понять природу обсуждавшихся колебаний, Забужский и Краскал обнаружили следующее. Пусть при / = O заданы две волны вида (1.1.6), находящиеся на достаточно большом расстоянии друг от друга, причем меньшая из них находится справа. Через некоторое время волны встречаются и начинают взаимодействовать (большая поглощает меньшую). Затем большая волна вновь отделяется от меньшей и постепенно (асимптотически) восстанавливает свою первоначальную форму, а следовательно, и скорость. Весь эффект взаимодействия сведется только к сдвигу фаз, в результате которого центры волн будут несколько сдвинуты по сравнению с тем, какими они были бы при свободном движении (см. рис. 1.1).
Поскольку имеется аналогия с частицами, Забужский и Краскал назвали такие волны солитонами. Следуя им, мы будем называть солитонами любые локализованные нелинейные волны, которые взаимодействуют с произвольными локальными возмущениями и всегда восстанавливают асимптотически свою точную первоначальную форму (с возможным сдвигом фазы). Для локализованных волн, взаимодействующих неупругим образом, мы 16
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Рис, 1.1. Типичная картина взаимодействия двух солитонов в последовательные моменты времени.
сохраним термин «уединенная волна». Следует отметить, что в литературе существует много разных определений того, что является и что не является солитоном. Нашим целям адекватно данное выше определение.
Попытки понять причину возникновения осцилляций при численном решении уравнения (1.1.4) привели к обсуждению вопроса об «обратимых» ударных волнах. На фронте ударной волны происходит скачок характеристик среды; вопрос о скачках тесно связан с вопросом о законах сохранения. (Закон сохранения— это уравнение вида дТ/dtdF/dx — 0, где T называют плотностью, a F — потоком по аналогии с потоком жидкости.) Первоначально у уравнения (1.1.4) было обнаружено четыре закона сохранения. Миура [381] открыл еще несколько законов сохранения, и были высказаны предположения, что их имеется бесконечно много.
