Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
6. (а) Найдите интеграл энергии уравнения
Utt = C2Uxx-E2Uxxxx, — OO < JC < оо, і > 0.
'(b) Покажите, что решение этого уравнения методом Фурье при подходящих начальных данных расщепляется на две волны: волну, бегущую влево, и волну, бегущую вправо.
(с) Покажите, что при малых в каждую из них можно описать уравнением из упр. 4, т. е. формулой типа (П. 1.49). Что Упражнения
437
нужно потребовать, чтобы є было мало? (Отметим, что на последний вопрос можно ответить многими способами, но всегда приходится учитывать начальные условия.) Найдите области применимости (по х, t) этого приближенного решения. Восстановите решения задачи из п. (а) по этим двум приближенным решениям. Дайте качественное обсуждение того, как изменится решение, если начальные условия содержат достаточно коротковолновые колебания.
7. (а). Линеаризованное уравнение Буссинеска имеет вид
Utt = C2Uxx + е2ихххх, —оо <х<оо, t > 0.
Покажите, что эта задача некорректна. Как это" проявляется при попытке найти интеграл энергии? Дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения, описывающего волны на поверхности воды, имеет вид
со2 == gk th kh.
Покажите, что это дисперсионное соотношение отвечает корректно поставленной задаче, а некорректность указанной выше задачи появляется вследствие ограничения первыми двумя членами разложения функции th kh при малых k. Покажите, что приближение
_ 2 і ( h2\ Utt — С Uxx -+¦ ^-"з-J Uttxx
является столь же точным при малых k, но корректным. Имеет ли оно интеграл энергии? (Ь) Уравнение
Uyy = С Uxx -J- E Uxxxx
является линеаризацией стационарного уравнения Кадомцева — Петвиашвили (см. разд. 2.1). Предположим, что функция и(х, у) периодична по х с периодом L < 2яе/с. Покажите, что при фиксированных граничных условиях и(х, 0) и и(х, Y), Y Ф 0, эта задача поставлена корректно.
8. (а) Покажите, что при изменении знака в уравнении (П.1.60)
tlyp —— ^xx — ^
интеграл энергии по-прежнему сохраняется, но перестает быть положительно определенным. Покажите, что задача с начальными условиями для этого уравнения неустойчива. Каков максимум инкремента неустойчивости? 438 Приложение. Линейные задачи
(Ь) Покажите, что
T
является точным автомодельным решением уравнения (П. 1.60). Какому начальному условию отвечает это решение? Конечен ли для него интеграл энергии?
9. Решите уравнение (П.1.72) с начальными условиями из упр. 1. Вычислите основной вклад в асимптотическое решение. Где находится волновой фронт? Как отличаются два решения за фронтом волны?
10. (а) Покажите, что интеграл энергии для уравнения (П. 1.73) имеет вид
S |ч>гч2= ? I^i2.
?=. —OO Tl=-OО
(b) Найдите дисперсионное соотношение уравнения (П. 1.73]}« Покажите, что
[z|=l=>|Q|=l.
(c) Постройте решение при помощи преобразования Фурье (аналогичное (П.1.80)). В каком смысле оно удовлетворяет уравнению?
(d) Покажите, что в этой задаче групповая скорость ограничена, а фазовая нет. Найдите максимум групповой скорости.
(e) Найдите асимптотическое поведение решения при т-+ оо. Сравните его с асимптотиками решений уравнений (П. 1.23), (П.1.72).
({) Покажите, что если заменить (П. 1.73) на явную схему
_ . C+1 - С _ С+1 + C-! - 2С
J1(^T2-X2)t Т2>Х2,
M A2
то и фазовая и групповая скорости будут неограниченными. 11. Линеаризованная цепочка Тоды имеет вид dl
Ф/1 V) = фл+1 + фп-1 — 2Ф/Г
(a) Имеет ли эта система интеграл энергии?
(b) Найдите дисперсионное соотношение. Является ли частота со вещественной функцией при |z| = 1?
(c) Методом преобразования Фурье постройте решение этой системы.
(d) Как ведет себя это решение при больших временах? Сравните его с решением волнового уравнения utt — ихх = О, Упражнения
439
Раздел П.2
1. (а) Пусть U(x) в (П.2.1) является вещественной. Покажите, что:
(i) U(x)>o=>K(y)>0;
(H) К (-у) = K (у)-,
(Hi) \к{у)\<к(о).
(Указание-, воспользуйтесь преобразованием Фурье функции К(У).)
(b) Вычислите К (у), если
U(x) = Ae~aIjcI, а > 0.
Покажите, что если G(x) = 0, то уравнение (П.2.16) эквивалентно линейному обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка, причем все три корня характеристического уравнения вещественны и отрицательны, если параметр а достаточно мал.
Найдите приближенное решение для f и покажите, что асимптотическая скорость убывания при t -*- оо может быть получена из формулы (П.2.22).
(c) Каков асимптотический вид функции g(x, t)? Локализо-ванность функции g(x, t) означает, что частицы, находящиеся на расстоянии, превышающем характерный размер функции g, являются некоррелированными. Даже в случае пренебрежения трехчастичным взаимодействием' это свойство модели весьма важно для статистической механики [294].
(d) К каким следствиям приведет неравенство G(x) Ф0 в задаче (П.2.1)?
2. Модель радиоактивного распада нестабильных частиц Вайскопфа — Вигнера [502], ограниченная на случай одной пространственной переменной, имеет вид
= J U (х) ^ (х, () dx, t > 0,
= U(x)%(t), —оо<х<оо, t> 0,
