Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
6. (а) Точно решите (4.1.25) для со2 в пределе h2->oо. Покажите, что большая пара корней для поверхностных волн в этом пределе не зависит от плотности.
•(b) Обозначим три волновых числа (2.2.24) k\ = 8k, k2 = = (1 — b)k, k3 =.k. Покажите, что для./і2 = се триада в (4.2.24) возникает, когда 4Ай/іі = 1.
(c) Пусть также h\ -> оо. Найдите точные значения волновых чисел и частот для триады, содержащей две поверхностные и одну внутреннюю волны, и для триады, содержащей одну поверхностную и две внутренние волны.
Раздел 4.3
1. Можно рассмотреть другой вариант, не основанный на гипотезе (4.3.2), а учитывающий нелинейную поправку к (4.2.8) 394
4. Приложение
для изотропной среды
C^P + CDifr-MIPI2P
и объединить это выражение с (4.2.5).
(a) Покажите, что если амплитуда волны не зависит от времени, то результатом вычислений будет (4.3.2). Найдите явное
2/2 2\ 2 выражение п2 через d, Q , (ю — «о), с и «о-
(b) Получите (4.3.8) из (4.2.5) и уравнение для Р, рассмотренное выше.
2. Обоснуйте утверждения, следующие за (4.3.13).
(a) Найдите (3+1)-мерное обобщение (4.3.9), приводящее (4.3.13) к обыкновенному дифференциальному уравнению. Покажите, что оно не относится к Р-типу.
(b) Основываясь на (4.2.12), выясните, для каких со справедливо неравенство а = —k(d2k/da>2) > 0.
(c) Покажите, что (4.3.13) допускает автомодельные сингулярные решения, если а > 0 и «2 > 0. Что можно сказать о решениях в случае а < 0?
3. Приближение глубокой воды для волн на воде равносиль--но предположению kh -> оо.
(a) Покажите, что если kh 1, то ошибка, вносимая в линейное приближение (т. е. в (4.3.19)) таким предположением, имеет экспоненциальный по kh порядок. Эта причина лежит в основе утверждения, что эффектами конечной глубины можно пренебречь, как только глубина жидкости превысит длину волны, так как колебательные волны при этом не «чувствуют» дна.
(b) Покажите, что при h-^oo V<D = 0(/i_I). Следовательно, в этом пределе (нелинейно) возбуждаемый средний поток убывает степенным, а не экспоненциальным образом.
(c) Выбрав f = O в (4.3.26), рассмотрим одномерные волны на воде с периодом 1 с и максимальным наклоном свободной поверхности, равным 0.1. Чему равна длина волны, если она движется в океане, глубина которого равна 3 км? Оцените средний поток, возбуждаемый этой волной у дна. Арми [43] в качестве характерного значения тока у дна использовал величину 4 см/с. Является ли индуцированный средний поток существенным в глубоком океане? Что будет, если та же самая волна движется над континентальным шельфом, где глубина примерно равна 200 м?
4. Стоке (1847) [467] отметил, что осцилляторные волны на воде возбуждают во втором порядке (по є) «дрейфовую скорость». Следовательно, частицы жидкости испытывают медленное среднее движение в направлении групповой скорости волн, (Более подробно см. |422].) Упражнения
395
(a) Покажите, что среднее движение, соответствующее Ф в (4.3.25), происходит в противоположном направлении и должно отделяться от дрейфовой скорости Стокса.
(b) Любая стационарная теория волн на воде конечной глубины без учета вязкости является недостаточной для описания вызываемого ими полного переноса жидкости. Это обусловлено тем, что уравнения инвариантны относительно добавления произвольного однородного горизонтального потока. Одним из путей устранения этой неоднозначности является учет малой вязкости. Обзор работ в этой области сделан в работе [330]. Другая возможность состоит в исследовании решений уравнения (4.3.23), описывающих локализованные волновые пакеты, ам-:плитуда которых стремится к нулю при ^x2l + У2) °о и дополнительном условии, что на бесконечности движения нет. Покажите, что этот метод позволяет устранить неоднозначность в описании движения невязкой жидкости. Найдите величину полного переноса жидкости.
5. В случае локальных волн уравнение (4.3.21) было преобразовано в (4.3.23). Если амплитуда А периодична по (х\, у\), покажите, что такое преобразование можно сохранить, предположив, что Ф удовлетворяет также и (4.3.20). Если такое предположение не сделано, то чему соответствуют уравнения (4.3.25)?
6. Эксперимент, изображенный на рис. 4.17, демонстрирует ¦взаимодействие солитонов только в том случае, когда частоты двух несущих волн настолько близки, что взаимодействие двух волновых пакетов осуществляется достаточно долго: гЧ ~ 1. Основываясь на этих измерениях, определите соответствующую величину є и оцените время взаимодействия. В какой степени этот эксперимент подтверждает теорию?
7. (а) Для размерности (1 + 1) мы можем определить массу •локализованной волны
OO
M = P jj Idx, — 00
тде р — плотность жидкости. Таким же образом определите горизонтальный импульс и полную (потенциальную + кинетическую). энергию волны. Эти три величины для (4.1.5—7) сохраняются точно.
(Ь) Используя разложение, необходимое для вывода уравнений (4.3.25), разложите массу, горизонтальную проекцию им-лульса и энергию до порядка 0 (е2). Покажите, что
M = є/, + г212 + г313 + О (є4),
