Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(b) Если струна имеет начальное отклонение с суммарным импульсом, равным нулю, то f = g при і = 0, и соответствующее решение будет представлять нелинейное движение струны. Пусть wо обозначает частоту колебаний струны в линейном приближении. Покажите, что нелинейная частота определяется формулой
0 = CO0 { 1 - (bo)2 [з (? - 1 + k2) + (k2 - 1)] },
где K(k), E(k)—полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Следовательно, частотный сдвиг обусловлен двумя эффектами. Первый соответствует изменению скорости волны, бегущей вправо, в результате взаимодействия с волной, бегущей влево. Он всегда приводит к уменьшению частоты. Второе слагаемое является результатом самовзаимодействия волны, бегущей вправо, и понижает частоту, только если k2 > 1/2.
(c) Это решение также можно интерпретировать в терминах граничных условий С упр. 2. Если V2 < Т/р, то все длинные волны с бесконечно малой амплитудой движутся быстрее, чем струна. Какой должна быть амплитуда волны в п. (а), чтобы ее скорость соответствовала скорости струны? Каков физический смысл такой возможности? Применимо ли асимптотическое разложение для волн такой амплитуды?
6. При условии В упр. 2 мы можем решить уравнение мКдФ на оси (—оо, оо). Покажите, что в этом случае решение при соответствующих граничных условиях принимает вид упорядоченной по амплитуде совокупности из M солитонов (самый большой сзади), которой предшествует цуг дисперсных волн.
7. Ниже приведены оценки масштабов, при которых возможно экспериментальное наблюдение солитонов (g = О в упр. 4).
(a) Для того чтобы получить по крайней мере один солитон, мы должны существенно нарушить неравенство (1.7.1). В размерных величинах этому соответствует
(b) Самый большой солитон удаляется от бесконечно малых ВОЛН СО скоростью, которая не должна Превосходить (2]f | шах)2. Если Я,—начальная безразмерная длина волны, то время, необходимое для появления солитона, имеет порядок величины
__к
(2 If Imax)2 392
4. Приложение
Если волны остаются в экспериментальном устройстве в течение этого времени, то отношение длины устройства к длине начальной волны должно удовлетворять неравенству
A>_L_(|U!L| Г2
A 1 — Ц V I дх |тах/
Отметим, что в это неравенство не входит линеаризованная скорость волн У77р.
(c) Рассмотрим нейлоновую Е-струну от гитары (Е-струна—¦ самая толстая струна гитары, настроенная на ноту «ми»). Предположим, T 0,1 YA, где Y— предел текучести. Для нейлона ?УУ ~ 50. Для Е-струны 1/А — (0,018 см)2. Следовательно, длинные волны удовлетворяют неравенству
Я2» 10 см)2,
поэтому следует использовать волны длиннее чем 2 см. Если приравнять две величины
(IfcL)'-
так что максимальный наклон примерно равен 1/5, то солитоны должны возникать, на удалении около 1 м. Скорость волны примерно равна 2 м/с, поэтому полный эксперимент занимает только долю секунды.
(d) Возможна более доступная демонстрация, если нейлоновую струну заменить длинным телефонным шнуром. В этом случае перемещения будут больше, а скорости — меньше.
Раздел 4.2
1. (а) В экспериментальной ситуации (4.2.1а) следует заменить на
Ic1 + k2 + к3 = х,
где 6= |и|/|к3| является малой величиной. Как модифицируется (4.2.16), если б = О(е), б > е, б < е?
(Ь) Как изменятся результаты в одномерном случае?
2. Добавьте к Ei в формуле (4.2.15) еще две волны с частотами (?04, 05), такими, что в дополнение к (4.2.1) справедливы соотношения
h + k4 + к5 = 0, Co3 + со4 -f (O5 == 0.
(а) Если среди этих волн нет других резонансов, взаимодействие осуществляется в двух триадах, каждая из которых содержит со3. Как следует модифицировать (4.2.16)? Если А/ не зависят от у, взаимодействие описывается пятью комплексными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Имеют ли Упражнения
393
они свойство Пенлеве? (Предупреждение: вычисления утомительны.)
(Ь) Определите шестую волну в виде
к6 = к, — к5.
Покажите, что если волны резонансно связаны, т. е. если (Об = = ©і — (05, то каждая из 6" волн взаимодействует в двух триадах. Как в этом случае выглядят основные уравнения? Абловиц и Хаберман [8] показали, что в (1 + 1)-мерном случае к соответствующим уравнениям применим МОЗР. Однако формализм МОЗР для возникающей спектральной задачи (4 X 4) ими не развивался.
3. (а) В неидеальной диэлектрической среде приложенное электрическое поле в дополнение к поляризации вызывает слабый ток. Покажите, что (4.2.5) принимает вид
c~2dlE + d2,P +^o<E + VXVXVE = 0,
где а — малая проводимость среды. Предположим, что других потерь в среде нет и что о = 0(e). Как изменяется (4.2.16)?
(b) Рассмотрим в такой среде однородный цуг волн вместе с двумя (или более) слабыми паразитными волнами, могущими, как в упр. 2, образовать резонансную триаду. Как отразится наличие тока на неустойчивости?
4. Выразите (4.2.20) через (EX Н), т. е. поток плотности электромагнитной энергии.
5. Каков период волн в (4.2.18)? Оцените оптимальный размер кристалла, при котором как можно больше энергии входящей волны преобразуется во вторую гармонику. Этот размер фактически является ограничением сверху, потому что другие малые эффекты также приводят к ограничению размеров кристалла. Некоторые из этих вопросов обсуждались в [51о].
