Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
5 \
ОАЄ-
-I
t
N
<о
4
SJ-
0,5000 Если
-I
III1I1IIIII
9
тттптгп
ттгп
щ.
%мх=о,
— е -
Рис. 57.
ТО
+ 0,0478?/3 — 0.3448І qP — 0,4094 j qP
— 0,3448 - qP - 0,3448 — qP — 0,4094 - qP, 164 4 4 8 4
= (0,2500 — 0,2270) ql3 = 0,0230qP. Погрешность составляет: =9,2%.
0,2500
Если
I1M у = 0,
то
ц— - 2 • 0,3448— qP — 2 • 0,4094І. - qP — 2 • 0,0342- qP — 8 164 8 16 4 4
— 0,0457 ^-?/3=(0,1250 — 0,1164) ?/3=0,0086?/3.
Погрешность составляет
0,0086-100
= 6,881
0,1250
Сравнительно большой процент погрешности в удовлетворении статических уравнений вызван применением весьма крупного шага
сетки (Ах=—
\ 4,
Пример 2. Рассчитать Г-образную плиту, свободно опертую по краям на действие равномерно распределенной нагрузки (рис. 57).
Шаг сетки принимаем Ax=- Ay= 6*
Точки сетки, находящиеся на
69 одинаковом расстоянии от оси симметрии / — / обозначим одним номером.
1. Канонические уравнения для определения приведенных моментов. В соответствии с выражением (122) получаем:
A M1 — 2М3=q Ax2; AM2 — 2 M3 — 2M5=q Ax2; AM3 — M1- M2- Mi=q Ax2; AM4 -M3-M5- Me=^Ax2;
AMb — M2- Mi- M1=q Ax2; AM6 -Mi- M1=q Ax2;
AM1 — M5 — Me=^Ax2.
2. Коэффициенты влияния и приведенные моменты. Система канонических уравнений после симметризации и ее решение приведены в табл. 7.
Таблица 7
M1 Mt M3 AI1 Mb Ms M7 2б<*
2 —1 і
2 —1 —1 0
—1 —1 4 —1 і
—1 4 —1 —1 і
—1 —1 4 —1 і
—1 4 —1 2
—1 —1 4 2
а -таблица 2?*
а-таблица J
2 —1 і
2 —1 —1 0
0,5 0,5 3 —1 —0,5 1,5
0,3333 3,6667 —1,1667 —1 1,7272
0,5 0,1667 0,3182 3,0454 —0,3182 —1 1,7272
0,2727 0,1044 3,6941 —1,1044 2,5897
0,3284 0,2990 3,3414 3,3414
Коэффициенты ВЛИЯНИЯ
0,5991 0,1252 0,1983 0,0683 0,0532 0,0217 0,0187 1,0845
0,1252 0,7448 0,2515 0,1354 0,2382 0,0519 0,0725 1,6195
Of, 1983 0,2515 0,3966 0,1366 0,1064 0,0435 0,0375 1,1704
0,0683 0,1354 0,1366 0,3428 0,1342 0,1003 0,0586 0,9762
0,0532 0,2382 0,1064 0,1342 0,3700 0,0604 0,1076 1,0700
0,0217 0,0519 0,0435 0,1003 0,0604 0,2974 0,0895 0,6647
0,0187 0,0725 0,0375 0,0586 0,1076 0,0895 0,2993 0,6837
Проверка: ^ бг А' 2 = 1'0845+1'1704+0 ¦9762+1' 0700+° ¦ 6647-2+ +0,6837-2=6,9969^7,0.
70 Свободные члены системы уравнений после симметризации:
<hP=а2р=0,BqAx1, а3р=Ciip=Ci4= авр=alp=qAx2.
Используя вычисленные коэффициенты влияния, находим по формуле (120) приведенные моменты:
^=0,7223^2; Л15=0,9243?Ах2;
M2=\,m5qAx2\ Л1в=0,6279?Ал;2;
Al3=O,9455?Ал:2; M1 =0,6381?Дл:2.
Л14=0,8743?Дл:2;
3. Прогибы. От воздействия нагрузки определяем прогибы плиты:
( = п I= 1
где Ctip=Kl-^-Ax2 при і=k, К — коэффициент симметризации.
Для первых двух канонических уравнений К=0,5, для остальных— K= 1. Величины aip и величины прогибов приведены в табл. 8. Наибольший прогиб в точке 2:
Таблица 8
W2= 1,1428
дАх1
D
=0,0199
Eh3
где D=
Ehs
-, р.=0,3, a h — тол-
12(1 -її*) щина плиты.
4. Внутренние усилия в плите.
По найденной величине прогибов можно определить усилия в плите. Найдем, например, изгибающие моменты Mx и My в точке 2:
Mxt2=-D
Ws — 2о>2 +
Ах*
Ws — 2о>2 + bps
+
— qAx1 „<7 Ax4 c»v=?- * D
t=k aip-a D
a ?
1 0,3612 0,6127
2 0,5922 1,1428
3 0,9455 0,8645
4 0,8743 0,7594
5 0,9243 0,8294
6 0,6279 0,4670
7 0,6381 0,4830
Ду2
= -Z)(l+(x)(-
-2 W2
\ ¦ Ах*
=— 1,3 (0,8645 — 2-1,1428 — 0,8294) ^Ax2 = 0,7692?Ax2 = 0,0307ql2
при fx=0,3 и Ах=— ;
5
Myt 2=MXt'2=0,0307ql2.
§ 5. Расчет пластинок при различных условиях опирания по краям
Если при расчете свободно опертых пластинок, у которых на контуре при вертикальной нагрузке приведенные моменты равны нулю, мы пользовались уравнением изгиба плиты в виде двух диф-
71 ференциальных уравнений второго порядка, то при расчете пластинок иным образом, закрепленных в ряде случаев, оказывается целесообразным использовать дифференциальное уравнение изгиба плиты четвертого порядка. Это уравнение по методу сеток связывает прогибы тринадцати точек. Для произвольной точки квадратной сетки оно будет иметь вид:
20^-8(^+^+^+^)+2(?+
+ Wf+ Wg-3T Wll) + Wi+ W1+ Wm+
+ W=^ Axi. (135) D
Если это уравнение рассчитать для предконтурных и контурных точек, то в него войдут прогибы в точках, расположенных за контуром. Прогибы в законтурных точках приходится выражать через прогибы точек внутри контура или на контуре, используя граничные условия. Запишем эти условия' для произвольной точки k края плиты (х=а). 1.' Край свободно оперт (рис. 58, а). Согласно (108), (109)
Wb=0 и { d w \ =0. Поэтому дх* Ik
I
е а f
п d , к ь
h с 9
m
Ct
Рис. 58.
wb — 2wk + wd Ax2
= 0 или Wd = -
¦wh
(136)
2. Край защемлен (рис. 58, б). Для точки k имеем: Wk=0,
—) —Ea—=0. Следовательно, дх Jh 2д*
wd=wb. (137)
3. Край свободный (рис. 58, в). Согласно (112) и (113) имеем:
