Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вторая группа содержит задачи 7, 9—14, в которых вычисляется емкость зернохранилищ. Эти задачи также сведены к решению кубических уравнений. По методу решения они собственно принадлежат к первой группе, но условия их гораздо проще и по теме они между собой одинаковы, поэтому они естественно выделяются. В этих задачах также следует подсчитать объем и перевести его в единицы емкости, как этого требовала практика государственных чиновников, ведающих заготовками. Эти задачи, как и задачи первой группы, были традиционными: в «Математике в девяти книгах» они представлены группой задач на груду зерна, имеющей форму конуса. Ведь Ван Сяо-тун и написал свой трактат как «продолжение древних методов». Задача 7 приводится в [110, с. 98].
Третья группа задач в отличие от первых двух содержит совершенно отличные, чисто алгебраические задачи. Это задачи 15—20, особо привлекавшие внимание историков математики. По своим условиям они очень просты и легко переводятся, благодаря четко условному языку. Две из них (задачи 15, 17) приведены в книгах [81, с. 78; 147, с. 34].
В задачах 15—20 рассматривается прямоугольный треугольник и его стороны. Геометрическим образом заданы алгебраические соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, которые надо найти. Решение заданных систем уравнений приводит к уравнениям кубическим и биквадратным, которые, как
64
указывает Ван Сяо-тун, следует решать, «извлекая квадратный корень делением», т. е. численным способом, как бы мы теперь сказали, по методу Горнера. Никто из исследователей не отмечал, что эти шесть задач могут быть разбиты на пары, которые получаются одна из другой при помощи циклических подстановок. Поистине красивые задачи!
Все правила в трактате Ван Сяо-туна сформулированы в общем виде, как в «Математике в девяти книгах» и в «Математике морского острова» Лю Хуэя. Ван Сяо-тун употребляет специальную терминологию, возможно принадлежащую ему или общеупотребительную в его время. Комментарии весьма незначительны и принадлежат самому автору, т. е. комментария, по существу, нет. В этом смысле трактат отличается от других трактатов «Десятикнижья».
11. Трактат о гномоне
«Математический трактат о чжоу-би» («Чжоу-би суань цзинь») — самый ранний текст из сохранившихся по истории китайской, математики. Время его создания точно неизвестно. Собственный текст трактата о гномоне незначителен, его комментарии гораздо обширнее. Они принадлежат современнику Лю Хуэя (редактор III в. н. э. «Математики. . .») Чжао Цзюнь-цину. У них терминология весьма схожа. Комментарии Чжао Цзюнь-цина известны тем, что в них содержится геометрическое доказательство теоремы Пифагора, самое раннее в истории китайской математики письменное доказательство. Такое же доказательство встречается у древних индийцев в «Сульва-сутре» (V в. до н. э.). Кроме примечаний Чжао Цзюнь-цина к «Математическому трактату о чжоу-би», имеются еще комментарии Чжэнь Луаня и Ли Чунь-фэна, составителей всего математического «Десятикнижья» (VI—VII вв. н. э.). Они довольно значительны, поскольку текст, принадлежащий Чжао Цзюнь-цину, лаконичен.
В «Математическом трактате о чжоу-би» два цзюаня (свитка): верхний и нижний. Текст в первом свитке написан в виде диалога в отличие от большинства трактатов «Десятикнижья», которые содержат четко сформулированные задачи. Эта форма изложения, во-первых, сближает математический трактат с философским текстом Чжуан-цзы и, во-вторых, напоминает нам древнегреческие тексты Платона. Изложение в форме диалога свидетельствует, кстати, о более раннем составлении текста, чем те, которые представлены в виде задач с алгоритмами.
Диалогов два. Первый ведется между Чжоугун Данем, регентом при племяннике Чэнване (1115—1078 до н. э.), братом первого чжоуского Увана (1112 до н. э.), вполне историческим лицом, и неким знатным сановником Шан Гао, «весьма искусным в счете». Второй диалог происходит шесть веков спустя: ученый Чэнь-цзы ведет беседу с учеником Жун Фаном, подобно тому как Платон беседует с Тимеем. Таково содержание первого цзюаня, что касается второго, то он посвящен вопросам астрономии. В нем описан
5 Э. И. Березкина
65
иньский календарь, изложена космологическая теория «гай-тянъ» (буквально «небо-покрывало»). Нас более интересует первый свиток, где "речь ведется о теореме Пифагора и других проблемах, относящихся к математике древнего периода.
Эта часть трактата о гномоне наиболее древняя. Считается, что трактат был составлен до эпохи правления династии Цзинь, (265—420 до н. э.). Это с одной стороны, а с другой — полагают, что трактат появился не ранее Чжань-го (V—III вв. до н. э.), поскольку до этого времени больших связных текстов и не могло появиться. Дж. Нидем указывает, что трактат о гномоне появился за 200 лет до «Математики в девяти книгах», а последний издатель «Десятикнижья» Цянь Бао-цун — что за 100 лет до нее [110, с. 13; 149, с. 24; 150, с. 19].
Диалог между Чжоугун Данем и Шан Гао естественным образом распадается на два фрагмента. Первый фрагмент посвящен теореме Пифагора. Упоминается случай «египетского треугольника», когда стороны равны 3, 4, 5. Во втором фрагменте обсуждена проблема измерения расстояний до недоступного предмета. Во втором же диалоге, т. е. в объяснениях Чэнь-цзы своему ученику, ставится конкретно эта задача в форме проблемы измерения расстояния до Солнца. Здесь изложена та самая древняя астрономическая задача, которую затем в III в. н. э. Лю Хуэй переделал в математическую, поставленную определенно и имеющую конечное решение (см. выше п. 7).
