Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь употреблен еще один термин — «прямое число» (положительное число) (чжэн ту) для среднего арифметического (а+|3)/2= =30. Заметим, что Ли Янь [92, с. 40] указал на чжэн ту как на сумму В-\-С делителей фан и лянъ, что неверно.
Фраза «Извлеки кубический корень делением и получишь верхнюю ширину» обозначает решение составленного уравнения численным методом на счетной доске, которое мы можем выразить в виде схемы:
т. е. х=а2 = 70. Два других корня уравнения комплексные, значит, они для древних не существовали.
В следующей задаче 3 рассмотрена дамба в виде четырехгранной призмы. Снова задача сложная и состоит из двух частей, каждая из которых приводит к полному кубическому уравнению. Уравнение в задаче 4 вполне обозримо:
где х=18 — «нижняя ширина» дамбы в виде «хвоста дракона» имеющего форму клина.
Задачи с амбарами и погребами образуют три вполне однородные группы: это задачи 7 и 9, 10—12 и 13—14. Амбар в виде усеченных пирамиды и конуса (задачи 7 и 9) относительно искомых стороны или окружности верхних оснований, а также относительно высоты амбаров дают по паре полных кубических уравнений вида
1 170 71661-70 1 240 23966-
1677661
0
г*+62я2+696я=38448,
х*
.3
230
где а =6, Р=9, х—3 — сторона верхнего основания амбара, а Р — вес зерна, в нем хранящегося (задача 7). Или амбар (несколько амбаров) в виде параллелепипеда приравнен погребу (нескольким погребам) в виде цилиндра, и высота амбара равна глубине погреба — это задачи 10—12. Относительно искомой высоты (глубины) и составляется кубическое уравнение вида
где а =5, р=10, /&=13 — высота амбара, объем которого равен V (задача 11, в которой четыре «квадратных» амбара эквивалентны трем «круглым» погребам). Наконец, в задачах 13 и 14 говорится о равенстве емкостей двух типов погребов: «квадратных» и «круглых», имеющих форму правильных усеченных квадратной пирамиды или кругового конуса. Эти две задачи приводят к вполне одинаковым кубическим уравнениям вида (задача 14)
у + [(в+р) + и^+[(«+р)р + <?+1^]ь==|у_^+!)1р,
где а =7, Р =14, &=7 — искомая сторона или диаметр верхних оснований этих амбаров, имеющих объем V. Задачи отличаются лишь коэффициентом при V, зависящим от того, сколько «квадратных» погребов приравниваются по объему к «круглым» погребам.
Задачи 15—20 венчают трактат Ван Сяо-туна и отличаются своей лаконичностью и компактностью, поэтому они всегда привлекали внимание исследователей. Однако до сих пор не была отмечена их цикличность, которую впервые заметил Е. И. Сла-вутин.
Прежде всего перечислим тройки пифагоровых чисел, которые здесь использованы: 7, 24, 25 (задача 15 и 19); 8, 15,17 (задача 20); 9, 40, 41 (задача 18); 12, 35, 37 (задача 16); 13, 84, 85 (задача 17). Искомые стороны прямоугольного треугольника пропорциональны указанным тройкам, в задачах 17, 19, 20 коэффициент пропорциональности т = 1,1; в задаче 18 у =1,7, в задаче 15 у=2,05; в задаче 16 у=3,1. Таким образом, стороны прямоугольного треугольника — рациональные числа.
Пусть стороны прямоугольного треугольника а <^ Ъ <^ с и а2-\-Ь2=с2. Тогда условие задачи 15 предстанет системой
аЬ=т7 с — а = д,
где т=10&-1ш д=369/10; искомые а=147/20, Ь=491/5, с=511/4. Система дает уравнение
Если применить подстановку 20 Р±: а->Ь, Ъ -> а, с -> с, то задача
На это интересное обстоятельство обратил внимание автора Е. И. Славутин.
14 • V 89 »
а3 + |а2 =
231
45 переводится в задачу 16, 17 — в 48 и 19 — в 20. Если применить подстановку F2: а -> с, b -> а, с -> Ъ + 2q, то она переведет задачу 15 в задачу 17. Есть подстановки, которые переводят задачи 16 — в 18, 18 — в 19, 17 — в 20 и, например, произведение иодстановок Ft (F2 (№ 15))=№18.
В задачах 17 и 18 решают уравнение
»+*.& + 2&=*-*
или аналогичное ему относительно а. (Здесь w=13371/20, g=lVl0 и tfi=47393/5, g=542/5 соответственно.)
Задачи 19 и 20 дают биквадратное уравнение, в них заданы системы
Ъс = т,
а = п (задача 19), 64 + 59^Ь2 = 527076,
где 6=262/5.
17. Численный метод решения уравнений у Цинъ Цзю-шао, Ли Е и Чжу Ши-цзе
В книге Цинь Цзю-шао к уравнениям четвертой степени и выше приводят задачи на вычисление площадей, а также задачи на измерение расстояний до недоступных предметов.
Мы рассмотрим здесь задачи, посвященные биквадратным уравнениям, которые решены как уравнения четвертой степени. К этим же задачам относится еще одна, расположенная особо, в свитке IV — это задача 1.
Задача 1 свитка V — первая из группы задач на метод численного решения уравнений высших степеней. Задача проста и лаконична по своему условию, решение ее тривиально. Метод детально описан: задача сопровождается правилом, в котором даны алгоритмы коэффициентов уравнений; вычислениями, которые сначала описаны шаг за шагом, а затем представлены схемами и комментариями к ним. Условие задачи снабжено рисунком. Тем не менее в тексте средневекового автора нет пояснений о том, как составлялось само уравнение.
«Определение площади остроугольного поля.
Задача. Имеется некоторое поле с парой пиков. Длина каждого из пиков не одинакова. Пара больших наклонных по 39 бу. Пара малых наклонных по 25 бу. Ширина в середине 30 бу. Как узнать его площадь? Ответ: Площадь поля 840 бу» [105, с. 117].
