Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
128
Саммерфилд проверил эти выводы вычислениями. Он ввел следующие безразмерные переменные:
v ==
а CL2
(безразмерная частота), v>0,
є == VhJ H2 (отношение скоростей волн), 0 < є < 1, OC1EE=-^- (безразмерная ширина шельфа), aL > О, п==та2 (безразмерное волновое число), /г>0, где а2 — некоторая произвольная положительная длина.
(3.85)
Выражения (3.75) и (3.85) дают a2/i = Yv2 — п2 и U2I2 =
= ]//г2 — 82v2. Безразмерная срезающая ширина шельфа а, дается выражением
а.=-
Я2
(3.86)
Корни частотного уравнения (3.78) дают те же собственные значения, что и абсциссы нулей функции L (v; є, aL) п):
?(v; в, Ч, = є2 V v2 — tg ]/v2 — /г2 — ]//г2 — e2v2, (3.87)
где є, aL и /г фиксированы, а v — независимая переменная. Саммерфилд [605, приложение 2.1] нашел эти значения численно.
Суммируя результаты для случая отсутствия вращения и прямого шельфа, можно отметить, что при уменьшении ширины последнего имеют место неравенства
(3.88)
Моды низшего порядка, включая моду oky представляют захваченные волны, тогда как более высокие моды являются «истекающими». Здесь k — наибольшее значение /, для которого срезающая ширина шельфа еще не превосходит его действительной ширины а. По мере уменьшения значений а и приближения их к ширине CLj /-я мода (0<J^k) превращается из захваченной в истекающую. Для а <С а/ частота дается выражением
у>1. (3.89)
Таким образом, для а<а/ может существовать только фундаментальная захваченная мода, частота которой стремится
к конечной величине т ^gIi2 при и зависит от вдольбере-
9 Заказ № 5 129
гового волнового числа т. Однако для более высоких мод предельная частота зависит только от порядка моды. При фиксированной ширине шельфа количество полностью захваченных волн, отвечающих заданному волновому числу т, уменьшается по мере увеличения отношения глубин Ai/A2 (рис. 3.8). С другой стороны, если ширина а и глубины h\ и Zi2 неизменны, то число полностью захваченных мод возрастает вместе с т. Подобные полностью захваченные моды воспроизведены в лаборатории [39]. Саммерфилд также показал, что периодические волны, распространяясь из океана и проникая на шельф, могут возбуждать истекающие моды [605, приложение 4].
Случай с вращением Земли. В отсутствие вращения полностью захваченные волны могут распространяться вдоль шельфа в любом направлении. При наличии же вращения Земли две волны, бегущие навстречу друг другу, имеют слегка различающиеся частоты и возникает новый класс движений, не существующий без вращения. Период этих колебаний второго класса больше маятниковых суток, и распространяются они вдоль шельфа только в одном направлении. В предельном случае (а->оо) движение вырождается в так называемые двойные волны Кельвина, описанные Лонге-Хиггинсом [368].
Уравнение (3.58) остается справедливым и в случае враще-
ния, т. е.
[v2 +
(а2_/2)
C1 = O; /=1, 2. (3.90)
Соответствующие уравнениям (3.71), (3.72) и (3.73) граничные условия теперь запишутся так: при X = —а
а при X = 0
C1 = C2 (3.92)
Решение для захваченных волн в этом случае можно записать подобно уравнению (3.74) как действительную часть выражения
С(х, у, 0 =
= Ae'(my-'°Г ;r (3.94)
U-'" при X >0.
130
Для случая с вращением имеют место следующие определения:
е (,. -Я)
1,2 = Ш--г-,
Zi2I2 -\- m — (h2 — h])
(3.95)
Ti s arctg I--J, (3.96)
) Г A2Z2+ да (A2-A1) TV7'
(3.97)
Частотное уравнение, соответствующее уравнению (3.78), будет следующим:
Mg (0/,)--?-? = _ т f \h2 , A2Z2 и/лП , m/ CA2-Ai)
0 I Ai 1 AiZi
Корни этого уравнения для действительных (и положительных) значений а, т, /і и k дают частоты волн, представленные выражением (3.94) и соответствующие полностью захваченным модам. Саммерфилд при решении уравнения (3.98) ограничился случаем |//сг|<С1, поскольку известное из наблюдений приближенное значение этого отношения равно Ю-2. Он замечает [605, с. 1]: «Записи длинных волн на о. Маккуори (54°30' с. ш., 1580SS7 в. д.) обнаруживают характерные колебания с периодом около 6 мин и с периодом биений около 3 ч. Это приводит к заключению, что гравитационные волны захватываются около ост^ рова из-за соответствующего распределения глубин».
С учетом соотношения |/7<т|<С1 уравнения (3.98) и (3.78) подобны, за исключением малой добавки
Влияние этого члена на действительные корни уравнения (3.98) можно понять, рассмотрев поведение параметра 1\ в зависимости от значения f вблизи ? = 0. Для фиксированного вдольберегового волнового числа т получаем
Ы")/-ов . Jh1 1 / A1 \] ' (3'99)
При mf/o>0 действительный корень уравнения (3.98) несколько больше, чем корень уравнения (3.78). При mf/a<0 соотношение корней обратное.
9* 131
Первый случай соответствует движению захваченных волн в направлении вращения Земли, второй — движению в противоположном направлении. Болл [66] назвал эти волны соответственно положительными и отрицательными. Таким образом, вращение Земли приводит к расщеплению частот, оценка которого получена Саммерфилдом [605]. Он ввел безразмерный параметр Кориолиса
