Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
(3.25)
где Po — средняя мощность на глубокой воде. Тогда из выражений (3.22), (3.23) и (3.25) имеем
7Io
¦={i*}"W-
(3.26)
Уравнение (3.26) позволяет с помощью рефракционной диаграммы оценить высоту волны в любой точке. Весь этот анализ не учитывает придонного трения.
Стоке [599], не вводя предположения о малости крутизны, в противоположность Эри включил в теорию члены более высокого порядка и представил волновой профиль в виде тригонометрического ряда. Этот профиль имеет более заостренные гребни и более пологие ложбины. Практически используются лишь первые три члена ряда стоксовой теории. Таблицы Шелб-райя [579] элементов стоксовых волн приведены Бейтинджани и Братером [69].
Пусть L — длина волны, а г\— возвышение поверхности над невозмущенным уровнем. Тогда
= Ai cos б + A2 cos 26 + A3 cos 36, (3.27)
где
•-Ч4—г)=
(3.28)
здесь волны бегут в направлении оси OX9 t — время, T — период волн, а коэффициенты Au Аз определяются следующими соотношениями:
D
4
2A, + 2«m?
(4--8(ct
(¦2t-)
||гч-^)н^и
2(л-2?-)'
(3.29)
(3.30)
(3.31)
103
Скорость волн С дается выражением
Уравнения (3.18) и (3.32) дают
L0 — длину волн на глубокой воде — можно получить из уравнений (3.18) и (3.20):
L0=^T*. (3.34)
Уравнения (3.17) и (3.32) подобны, за исключением второго члена в квадратных скобках. Когда высота волны мала, коэффициент A0 и уравнение (3.32) переходит в уравнение (3.17). Уравнения (3.29)-(3.31) и (3.33) показывают, что если в теории волн малой амплитуды отношение D/L зависит только от отношения D/L0, то в теории Стокса отношение D/L зависит еще и от отношения r\/D. Это означает, что для вычисления длины L при заданной глубине D нужно знать еще высоту волны т], так как высота волны заранее неизвестна, то значения D/L и ті приходится находить из трансцендентных уравнений методом проб и ошибок.
1+(2*А)2
W-5f-H
. (3.32)
1+(2*Л,)2
2tzD \4
(3.33)
Метод Бейтинджани и Братера для предельного преломления
Определение высоты волн с помощью рефракционной диаграммы основано на предположении об отсутствии переноса энергии через ортогонали к гребням волн. Это предположение явно нарушается в случаях предельного преломления, когда происходит значительное искривление гребней, а высота волн существенно изменяется вдоль гребней. Бейтинджами и Братер [69] создали методику, пригодную для расчета таких случаев, и проверили ее на данных лабораторных экспериментов.
Они применили теорию Стокса для случая слегка наклонного дна, хотя, строго говоря, она предназначена только для постоянной глубины. Пусть волны бегут в направлении оси 0ХУ a Z вертикальная координата, положительная вверх. Пусть D — глубина воды, H — высота волны (наибольший вертикальный размах колебаний точки свободной поверхности), а ц (х, t) отклонение уровня воды рт равновесного положения. Пусть ф —
104
потенциал скорости, р — плотность воды, L — длина волны. Тогда для прогрессивной волны осредненный по ее длине поток энергии Р, переносимой через единичную вертикальную полоску,
есть
о о
Безразмерная скорость частиц с масштабом С, где С определено из уравнения (3.32), будет
= F1 ch (^-) cos 9 + F2 ch [-^P) cos 26 +
+ F3ch(-^)cos3e, (3.36)
где Є определено выражением (3.28), a Fu f'2 и Fz — следующими выражениями:
F1- J'i'n, . (3.37)
sh
\о,п, . С3"38)
Sh
F3 - (2«A1)» і- ^ * /J . (3.39)
sh (—)
Введем безразмерные пространственные переменные:
Z
T
-4- 6-4-- (3.40)
Заметим, что
45—с*- <341>
Уравнение (3.35) переходит теперь в
1 (DJrJl)IL
г о о
Правая часть этого выражения является функцией безразмерных параметров D/L и H ID.
105
Бейтинджани и Братер [69] свели двойной интеграл (3.42) к однократному и численно определили его. Они изобразили в координатах P/(C3pL) и HJD изолинии отношения DJL> а также изолинии DJL в координатах C2JL и HJD.
Теория волновой рефракции с каустиками
Чао [115] разработал теорию рефракции волн на воде, справедливую в присутствии каустик. Каустикой является гладкая поверхность или кривая, огибающая семейство лучей. Если лучевая теория рефракции волн применяется вблизи каустики, вычисляемая высота волн стремится к бесконечности, что лишено смысла. Чао ввел в уравнения наклон дна и нашел асимптотическое решение, выраженное через величину, обратную наклону. В этом решении амплитуда волны монотонно увеличивается и достигает максимума в непосредственной близости от каустики. На самой каустике происходит сдвиг фазы на -^-
и некоторая часть волновой энергии проникает по другую сторону каустики. После прохождения каустики амплитуда волны экспоненциально убывает по мере удаления от нее.
Чао применил сферические полярные координаты, чтобы можно было вычислять рефракцию волн, распространяющихся на большие расстояния по поверхности земного шара. Он указал, что для решения задачи рефракции на каустике им применена методика Людвига [381, 383]. Эта методика использует новый вид «однородного асимптотического решения», включающего функцию Зри. По одну сторону каустики решение такое же как в геометрической оптике, по другую сторону каустики получено экспоненциально затухающее решение. Вблизи каустики имеет место гладкий переход от осциллирующего к экспоненциально затухающему решению, и решение остается конечным на самой каустике. Изящные выражения Чао мы здесь не приводим из-за слишком большого их объема (см. Чао, [115]).
