Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Недостатком доказательства (371), равно как и теоремы (366) в применении к обработке наблюдений, является то, что в практике число наблюдений отнюдь не бесконечно большое, в большинстве же случаев весьма ограниченное*.
Поставим вопрос несколько иначе, а именно: является ли простая арифметическая средина наиболее надежным, т. е. обладающим наибольшей при данных условиях вероятностью, значением?
Предположим, что ошибки наблюдений в ряде (363) случайны и подчиняются закону нормального распределения. Итак, имеем: JT1, X2, ... , Xn — результаты наблюдений, V1- = Хі—х, (і — 1,
2.....п) ~~ их случайные ошибки, представляющие отклонения
значений X1 от наиболее надежного значения х.
Вероятность попадания случайной ошибки в интервал di>, как известно по формуле (257), равняется
P -= е~к'°! do. (372)
Вероятность того, что при п равноточных наблюдений появляются ошибки O1, v2.....Vn по теореме умножения независимых
событий (§ 7), равна
Р-^-А^е 1 2 " (Ma1. . .(1?. (373)
или
Из формулы (374) вытекает, что при любом значении меры точности h вероятность P будет максимальной, если
И-тіп, (375)
так как все множители в выражении (374), кроме e~feIfs], не зависят OT ОТКЛОНенНЙ Vi.
* Вторым и не менее существенным недостатком принципа арифметиче-кой средины является то. что при наличии односторонне дейстаующил с" стематических ошибок среднее арифметическое перестает практически за метно приближаться к истинному значению, начиная с некоторого значения п.
Множитель е Л* в свою очередь принимает максимальное значение при условии (375), так как
^1= ^m- <376>
Таким образом, наиболее надежным значением из ряда независимых равноточных наблюдений одной и той же величины является такое значение х, для которого сумма квадратов отклонений (xi—х) минимальна, т. е.
(X1^x)* г(X2-X)*+ . . . +(?.-*)1 = [^] = min. (377)
Условие (375) носит название принципа наименьших квадратов.
Определим значение х, которое отвечает условию (377), для чего
найдем первую производную -^— (о* I и приравняем ее нулю.
dx
Итак,
-J- W \f,xi-xf\ = 2 [(Xt-X)] - 0. (378)
dx dx
Условие (378) выполняется, если вместо х подставить простую арифметическую средину х из формулы (370). В самом деле,
_2мц.2л-г-2И+ . . . +2х„-2Ш-Il п п
= 2(*, T-AT2-L . . , -hx„)-2M=2[.v]-2h:I = 0. (379)
Таким образом, если случайные ошибки Д независимых равноточных наблюдений имеют M (Д) = 0 и подчиняются нормальному закону, то наиболее надежным значением определяемой величины является простая арифметическая средина.
Иногда вместо простой арифметической средины используют так называемую медиану — срединное значение случайной величины, способ отыскания которого аналогичен описанному в § 26 способу отыскания вероятной ошибки. Легко показать, что медиана менее надежна, чем арифметическое среднее потому, что зависит от метода измерений.
При вычислении значения простой арифметической средины полезно иметь в виду следующие практические рекомендации.
В большинстве случаев неудобно вычислять значение х по формуле (370), так как в сумму [к I входит большая неизменяющаяся часть X1. Для упрощения вычислений рекомендуется вводить приближенное значение измеренной величины х', равное, например, одному из значений рядя X11 х2, . . . , к„ (предпочтительнее наименьшему);
тогда все операции по вычислению х сведутся практически к операциям с остатками Et = Xt—х'. В самом деле, если
Jr1-J; ^Ei, JC2 — х' — е2,
-X - -е.
(380)
то, суммируя левую и правую части равенств (380) и разделив полученные суммы на число наблюдений п, получим
л л
ИЛИ
х=х +^-. (381)
л
Удобство выбора в качестве х' наименьшего значения из ряда xi. ¦ ¦ ¦ , х-г. состоит в том. что все остатки Єї в данном случае будут положительными и возможность допустить просчет при вычислениях уменьшается по сравнению со случаем выбора в качестве приближенного значения х' произвольного числа.
§ 37. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИ ЧЕСКА Я ОШИБКА ПРОСТОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СРЕДИНЫ
Если при равноточных наблюдениях одной л той же величины получен ряд результатов д-,, хг, х9, - ¦ ¦ , х„, то в качестве обобщенной характеристики равноточности всего ряда наблюдений можно принять, как отмечалось выше, среднюю квадратическую ошибку т. характеризующую точность любого из результатов ряда. Будем в последующем эту ошибку называть средней квадратичеекой ошибкой одного наблюдения. Простая арифметическая средина д- в общем случае вычисляется, как известно, по формуле (370),
Возникает вопрос: как определить среднюю квадратнческую ошибку простой арифметической средины т-, т. е. как оценить ее надежность, если известна средняя квадратическая ошибка т одного наблюдения? _
Для'определения /и- представим х в виде
i = —JC1+—дг»-f . ¦ ¦ +~хп. (382)
л л п.
Полагая результаты равноточных наблюдений Jt,, хг, . . . , хп независимыми, определим т- по формуле средней квадратичеекой
ошибки функции общего вида (335)
™b(|)V + (|)V + - - . +(1)3?- (383)
