Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
•2 Ґ ди У о , / ди У у , / ду у „
m„—----) т;- -\ mf. - - ( —1 т;
" І З* J * v ду ) у \ dz )
Но
ди х ди Xі
¦г; -— —-г;
дх у2 ду
^ди_ _ х2 дг ~ 2у*
О т и с т.
т., -
из
или
Пример 2. Дана функция
U=^L, (350)
th
где к, у, г, t, h — независимые аргументы, полученные из наблюдений со средними квадр этическими ошибками тх, ту, тг, т,, т.),. Определить ти. Решение. По формуле (335) имеем
Но
ди уг ди _ xz ди _ ху
дх ~ th ' ду ~ th ' дг ~ th '
ди _ хуг . ди _ хуг
dt ~ Ph ' dh ' ~ th2
Ответ.
4-
2 2
(351)
+(-^У-К-^)'"*
Иногда удобнее функцию (350) приводить к линейному виду, логарифмируя ее (здесь по основанию е)
In и = ]п х -\-In у -\-]пг— lnt — In Л.
Далее
л'
2
(352)
m і
Так как mJn ц = —=- , то и
т'е"= Gdu~'S ")'"'"
где
— Ig u = 0,4343. . . —;
следовательно,
0,4343 ... та Щвц
к u и 0,4343 . . .
<0,4343 — модуль десятичных логарифмов).
В формуле (352) -^-,-^5- .... —средние квадрат и чес кие относитель-и х
ные ошибки.
Для сравнения полученных результатов (351) и (352) умножим левую и правую части выражения (352) на
и получим тот же ответ (351)
Пример 3. Коэффициент к нитяного дальномера теодолита определяется на базисе, длина которого з = 250,00 м определена со средней квадратичеекой ошибкой ms — 0,052 м.
Из многократных измерений был получен средний дальномерный отсчет / = 249,0 см со средней квадратичеекой ошибкой mi — 0,30 см.
Определить к = — (постоянное слагаемое дальномера с = 0) и т^. Решение. Имеем функцию к = / (s, I), т. е. k = —. Согласно (332) по-
лучим
Но
1( дк V -2 , ( у 2
JJl - — ¦ J*b_ - jl . ds ~ і ' at > '
Отпет. /? = 0,12; ft = 100,40 ± 0,12.
Пример 4, Определить превышение и среднюю квадратическую ошибку превышения h' = s fg V, где s = 143,5 м (горизонтальное проложе-ние); V = 2°30' (угол наклона); если ms = 0,5 м; mv = 1,0'.
Решени".
k' = s tg v;
sz т2
«V = a/ <tfv ¦ г- -—; (354)
,, = Л /(0,5.0,044)2 -1 ¦ ( —---—Y;
* V V 0,998 343BV
Отлег mh. - 4,7 10 M"1, тк = 0,047 м.
Пример 5 Емкость конденсатора С определена по форм\ле
C=
и
где Q — абсолютная величина заряда (в кулонах); U — напряжение (в вольта к).
Определить (в общем нидс) среднюю квадр этическую ошибку гас, если
ИЗВеСТНЫ Q, U, IKq, TIlJ-
Решение. По формуле (332) имеем
2 /дС\2 , s дС\*
Но
дС __1_. _
3Q U ' dU t''1
Ответ.
гчс
('"с будет выражена в единицах емкости С, т. е. с данном случае п фарадах) Пример 6. Определить среднюю квадратнческую ошибку вычисленной длины волны модулированного светового потока, если скорость света с = 299792,5 км/с ± 0,4 'км/с (тс), а частота, равная / = 10000,0 кГц, определена со средней квадратической ошибкой м; = 0,15 кГц. Решение.
Так как i. =-^— , то
или
V(t)'+(-7H'-
Подставим значения с, Д mc, i/if е формулу (356), имея в виду, что если скорость света с дана в км/с, а частота / в кГц, то X будет получено в м. Предварительно преобразуем формулу (356)
Итак,
-VfrH-*?)" V-
10 000а 10 ООО3 V 10 000 J
Ответ, ту = 0,45 Ю-3 м = 0,45 мм.
Средняя квадратическая относительная ошибка ту. 0f45 мм 1
т~ "~ JO м ~ 67 ООО "
Пример 7. В радио- и светолохации время і распространения волн в прямом и обратном направлениях определяется по формуле
где ф — разность фаз {фазовый сдвиг); / — частота колебаний^ (модуляции).
Определить среднюю квадрэтическую ошибку времени Ш(, если тф — = 1,0°, /=10 МГц, mf = 0, 15 кГц (0,15¦1O3 Гц).
Решение. Принимая, что ф и / измерены независимо, по формуле (335) получим
(357)
Подставив в формулу (357) соответствующие значения л, f, т/, /, примем, что двойное расстояние равно 30 км, тогда получим
30 км ,„,,„,
t-- ——---- = 1,01-10-* с,
299 792,5 км/с
mt
= ^yJ^-1-.10-^4-(— 1.01- Ю-1-0,15-Ю-3)3 --
= v(2,8- Ю-10)2 -j- ( — 151 ¦ 10-10)а. (357')
Ответ, mi — 1,5- 10"8 с
Из формулы (357') видно, "то ошибка в измерении фазового сдвига, равная тф — 1,0°, на точности определения времени практически не сказывается.
Пример 8. Горизонтальная дальность полета артиллерийского снаряда в безвоздушном пространстве на плоской непращаюшейся Земле вычисляется по формуле
. 2
s = ZlL sin 20„, (358)
В
где U0 — начальная скорость снаряда; B0 — угол возвышения; g— ускорение свободного падения.
Определить среднюю квадратнческуго ошибку ms дальности s, если аргументы V0 и O0 независимы и получены со средними квадратическнми ошибками ItIj10 — 0,02 % va, /71? = 0,5'; при этом va = 700 м/с, O0 = 15°.
Решение. По формуле (335) получим
По формуле (358) находим
.2
= —- cos 2%.
Следовательно,
// 2-700 „,Л* /2 700 700 ,Jft(] 0,5' \2
"is = Л / I —- - sin 30-¦ 0,14 I -4-І -—¦-- cos ЗО -— I ,
