МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
В спектральном методе возмущение записывают в виде ряда по базисным функциям (подобным фурье-гармоникам) или по конечным элементам (которые являются функциями с подстроенными параметрами, причем каждый используется в малом элементе пространства) в предположении экспоненциальной временной зависимости. Затем МГД-уравнения преобразуют к огромным матричным уравнениям, из которых определяют собственные функции и собственные значения, т. е. инкременты и частоты колебаний. Точность, с которой этот конечный набор собственных значений аппроксимирует полный спектр МГД-уравнений, можно проверить, увеличивая число или меняя набор базисных функций. Этот метод был разработан в Принстоне [23] п в Лозанне f2o]
Оба метода лучше всего работают, когда ни собственные функции, пи равновесие не имеют тонкой структуры. Это исключает возмущения типа Мерсье — Сайдема. Оба метода сталкиваются с трудностями при большом аспектном отношении для конфигураций с низким р, когда инкременты очень малы по сравнению с частотами магнитозвуковых, альвеновских и звуковых волн. При этих условиях коды с начальными условиями требуют для сходимости длительного времени, а в кодах с. собственными значениями возникают проблемы точности, связанные с большим диапазоном собственных значений. По этим причинам между аналитическими и числовыми результатами имеется лишь очень маленькое перекрытие.
Вопрос 7.4,1, Вычислить можно только конечное число собственных значений и ш5сгвенных функций- В іо же время с волнами, резонирующими на разных м а г пктны к поверхностях, связано бесконечное число собственных значений и со&ственных функций. Как вычисленные собственные значения аппроксимируют ли континуумы?
Вероятно, наиболее ясно эффект тороидальности проявляется в том, что неустойчивые собственные функции представляют со-бой смесь полоидальных гармоник. Поле скоростей или смещений сдвинуто наружу по большому радиусу, а на внутренней стороне тора можно найти либо неподвижные области, либо пары продольных вихрей. Особенно отчетливо это проявляется для неустойчивостей с закрепленной границей при низком аспектном отношении (рис. 7.2, б) или при высоком рпол. Однако даже для
8* 115
Рис 7.2 Диаграмма неустойчивости мод с закрепленной границей (а). Показаны собственные функции (б) для токамака
C ?U = = 0,81 При уМСреННиЙ BbJTfT-
нутостп (Ь/а=\,6) для низкого аспектного отношения (Д/а=2,5) нскр\тлешто-го профиля тока [p'(л^) ~ \^ ІҐ(-$) =0]. При целочисленном зня'їстгии непрерывная переменная rt означает тороидальное волновое число. Из работы [191
неустойчивостей со свободной границей, когда нет стенки и вихревая структура не локализована внутри плазмы, также существует тенденция усиления неустойчивостей вблизи внешней стороны тора и появления дополнительной вихревой структуры на внутренней стороне. Очевидно, что в основном неустойчивость смещена туда, где дестабилизирующие члены, связанные с кривизной и параллельным током, максимальны.
Эффект зацепления полондальных гармоник наиболее заметен в полоидальтгой части возмущения магнитного поля. При низких аспектных отношениях в главной части возмущения магнитного ноля на одну гармонику больше, чем в основной части поля смещений. Например, если в течении плазмы выделяются две вихревые ячейки, то в возмущениях давления и тороидального поля будут большой положительный и большой отрицательный пики, а в возмущении полоидального поля будет уже четыре вихревые ячейки со сравнимыми амплитудами. Они соответствуют четырем нитевидным возмущениям тороидального тока.
Вопрос 7.4.2. Рассмотрим одну гармонику возмущенного смещения
z = Ur) cos (тэт!) — по),
где 6—полоидалышй угол покруг магнитной оси. Какова величина гармоник т±1 поля B^0J1 по сравнению с іармшшкой т, уели обратное аспектное отношение в = г/R}
В результате такого зацепления гармоник становится невозможно пронести однозначную классификацию неустойчивое гей па основе полопдадыюго волнового числя. Нет даже однозначной топологической классификации. Например, в случае свободной границы для равновесия с малым аспектным отношением и малым широм кажется, что при увеличении q неустойчивость меняется непрерывно от т={ до т = 2, как это показано на рис. 7.3. Новая структура постепенно сдвигается наружу от внутренней стороны тора. Мы увидим в дальнейшем, что различие между неустойчи-востямн прямого цилиндра и тора становится сильнее при увеличении ?no.-j, п при этом неустойчивости концентрируются на внешней стороне тора.
Влияние тороидальности на инкременты можно исследовать, отправляясь от неустойчивости прямого цилиндра и постепенно сворачивая его в тор. Для плазмы с низким ? увеличение торон-
І16
Рис. 7.3, Инкременты и собственные функции для неустойчивостей со свобод г ной границей (Ь/а —1,6; Rja=2tb) в токамаке с «плоским» го ком [pf (ty) = const, //' = 0, цкр/Vofb = 1,7] и со «спадающим» токо.м [^445) — 1I3' J/'<^> =0]. Ил работы (191
дальности постепенно уменьшает инкременты. При этом наиболее сильно уменьшаются инкременты длинноволновых неустойчивостей, которые чувствуют большую часть кривизны, чем коротковолновых.
