МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
(pt2 + ^2M г (rtr) - Cn rtr + Спр^ (6,3,5)
(PV Jr F2M г P*- C21 rtr-Спр*. (6.3.6)
Здесь:
Cn-^2(mFB9fr~ BlA)I1L; Cn = r~A~ m2~k2 г2; c31 = - (pt2+/^)2 + + 2 (p7« + F*fr) Вь ±r {^f) j 4 (Яв/f)' </«Ді - В\ Л)/ел;
a -p2tV[(pt3-! ^wr^+ptm^iH-AM
Граничные условия на оси г = 0 можно получить, раскладывая уравнения в ряд вблизи г = 0 и приравнивая в полученных уравнениях члены с одинаковыми степенями г, что дает
%Т - г'"-1 (6.3.6)
и
Р*^ТГ(^Г^Р - ~ F2M *г (6.3.7)
Если плазма подходит вплотную к жесткой стенке, то граничные условия на ней выглядят следующим образом:
%г (г = а) - 0. (6.3.8)
Как и в любой линейной задаче, амплитуда решения может быть произвольной.
Все остальные возмущенные величины можно выразить череа rlr и р*:
«• = (~- />*- ^ F\r + Яв Fv - I/I*) / (PT2 + /7W; (6.3.9)
88
16, - (-kp* + FB^-SItiKtf + F*№, (6.3.10)
\В\ - - Fl,; (6.3.11)
Si- FlU - BtV-$--ri, J7(^}; (6.3.12)
Bl^F\tt- Bzv-t -1,—¦B1. (6.3.13)
Вопрос 6.3.1. Какой характер имеет собственная функция устойчивых колебаний с отрицательным значением у3 вблизи радиуса, на котором F2 = —ру-^>
Вопрос 6.3.2. Почему на рациональной магнитной поверхности, па которой F = O, радиальная компонента возмущенного магнитного поля (53.11)
В* обращается в нулі»? Есть ли какая-либо разница между случаями, когда
эта. поверхность находится н идеально проводящей плазме или і области с конечной проводимостью?
Если плазму окружает вакуумная область, то компоненты каждой из фурье-гармоник возмущенного магнитного поля к этой области имеют вид:
- і S1, = ? [C1C (kr) 4- C1 KFm (kr)\ (6.3.14)
В\ — -f [C1In(Ar) \ C2Km(kr)}; (6.3.15>
B\^-k[CJm(kr) \ C2Km(kr)\. (6.3.16)
Здесь /т и Km — функции Бесселя мнимого аргумента.
Используя граничные условия Bj1-O на поверхности идеальна
проводящей стенки (гст) н условие непрерывности BJ на границе
между плазмой и вакуумом, можно выразить константы C1 и C2 через радиальную компоненту смещения ?а на границе плазмы:
C1 - ^F(a)Km(kr¦„)/АЛ; i (6.3.17)
C2=—\F(a)C(krCi)/k^\ где A = /; (ka)K'a (^ст)-Г (А'ст)*; (Аа).
Наконец, потребовав непрерывности р* на границе плазма— вакуум, получим следующее соотношение:
Видно, что наличие вакуумной области не вызывает затруднений.
В общем случае можно доказать, что неустойчивые собственные значения уравнений (6.3.5) и (6.3.6) ведут себя как собствен-ные значення задачи Штурма—Лиувиля (см., например, работу [2]). Основываясь на этом факте, для вычисления решений (6,3,5) и (6.3.6) можно использовать простую итерационную процедуру. Задавшись произвольным значением у, проинтегрируем уравнения до границы плазмы. Если на границе получим слишком большое значение |г, то нужно уменьшить у и повторить вычисления; если слишком мало, у нужно увеличить. Эту процедуру
89
можно обобщить на случай заданного номера радиальной моды, при котором =0 внутри плазмы; точность полученных результатов может быть проверена с помощью интегрирования в обратном направлении. Численные схемы, основанные на этом методе, который называется «пристрелкой*, имеют широкое применение. Кривые для инкрементов и собственные функции, которые приведены в этой главе, были рассчитаны именно этим методом.
§ 6.4, ОДНОМЕРНЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
В то время как уравнения на собственные функции хорошо приспособлены для численных расчетов, для аналитических исследований удобнее использовать одномерную форму потенциальной энергии. Такая форма может быть получена с помощью частичной минимизации oW но компонентам |, касательным к магнитной поверхности. Детали этого вывода, вместе с подробным обсуждением рецептов применения одномерного энергетического принципа, можно найти в работе Ньюкомба (3]. После такой частичной минимизации, как пояснялось в гл. 5, энергетический принцип можно использовать только для определения устойчивости равновесия, но не для нахождения собственных функций и инкрементов. Основываясь па общем выражении для плазменной части OW (5.4.2), получаем следующую одномерную форму для OW:
bWF - ^ I dг r (^?-, \{nq - т) С - (nq + т) 5,/г]» + о
+ [г2 E&{nq - mf 2B9 (гВь)'\ tf/r*}. (МЛ)
Одно из условий минимизации — это V-1 = 0.
Если плазма окружена вакуумной областью^ к (6.4.1) необходимо добавить энергию возмущений магнитного поля в вакуумной области (5.4.5). Так как возмущения магнитного поля в этой области полностью определяются формулами (6.3.14) — (6.3.18), бЙ^вак можно выразить непосредственно через смещение на границе плазмы. В пределе длинного и тонкого цилиндра ka-^ Агст<с1 для bWteii имеем:
IWn,- ? Bl '+w^. (6.4.2)
Это слагаемое всегда дает положительный вклад в потенциальную энергию. і
Вопрос 6.4.L Каким образом неустойчивость плазмы со свободной границей может развиваться быстрее, чем неустойчивость при закрепленной границе, если потенциалы (а я знершя возмущений в вакуумной области всегда положительна, т. е. стабилизирующая?
Интегрируя по частям слагаемое в (6.4.1), содержащее ?гу »
получаем удобное выражение для потенциальной энергии:
