МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Vg!k* в то время как движение тяжелой жидкости приближается к свободному падению.
Вопрос 3.1.6 [4]. Как нужно осуществлять сжатие плазмы магнитным полем, чтобы ограничить амплитуду экспоненциально нарастающей неустойчивости Рэлея—Тейлора, как можно медленнее или как можно быстрее?
42
§ 3.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Заменим теперь условие несжимаемости Vv = О адиабатическим законом изменения давления жидкости (2.1.5). С учетом сжимаемости уравнение неразрывности превращается в уравнение (2.1.6). Объединяя уравнения для давления и плотности, можно показать, что энтропия произвольного жидкого элемента
e-pjf, Г = 5/3 (3.2.1)
сохраняется при его движении в соответствии с уравнением (2.5.10).
В этом случае равновесное состояние будет таким же, как и в § 3.1, и та же процедура вывода приводит к следующему уравнению, описывающему неустойчивость:
Из этого уравнения легко получить вариационный принцип, если использовать подходящие граничные условия, подобные условиям (3.1,9).
Однако полезнее будет упростить основное уравнение, рассматривая поперечные длины волн, существенно меньшие характерного масштаба изменения давления:
A-» < где ^=1/ 1"^"?- i - (3-2.3)
Теперь, используя уравнение равновесия (3.1.3) и оценки инкремента для несжимаемой жидкости Y2^gAp, получаем:
Pl2 «M1A (3.2.4)
В этом приближении основное уравнение сводится к
а соответствующий вариационный прчнцип:
7 адиап«іт ^-Tj-—5--~ . JO.^-OJ
Почему же неустойчивость остается даже в том случае, когда (д/ду)р<Ь? Очевидно, что эта неустойчивость не раскачивается обращенным градиентом плотности. Харрисом была предложена следующая простая модель для объяснения механизма неустойчивости (частное сообщение в 1975 г.). Предположим, мы перенесли сферический объем жидкости с некоторого уровня на другой, более высокий, как показано на рис. 3.2. Этот объем должен либо расшириться, либо сжаться для того, чтобы подстроить давление внутри объема под давление внешней жидкости. Если после тако-
43
Рис, 3.2, Последовательность эталон, демонстрируют а я причину неустойчивости Ра-лея—Тейлора сжимаемой жидкости, на модели с пузырем. Любезно представлено Е. Г. Харріт-
COM
го сжатия или расширения плотность внутри поднявшейся сферы окажется меньше плотности окружающей жидкости, то результирующая выталкивающая сила будет продолжать поднимать объем вверх и, таким образом, приводить к нарастанию неустойчивости. Инверсия плотности, необходимая для неустойчивости, возникает уже после развития возмущения и не обязана существовать в самом начале.
Используем другой подход к этому вопросу, заметив, что вариационный принцип (3.2.6) можно переписать в виде
С Pg 1 де 0 a - S ^ ~Г 37 "у
« %\
dy9 \к
— 2
(3.2.7)
где е — энтропия жидкости, которая определена выражением (3.2,1). Можно видеть, что в этой адиабатической модели неустойчивость Рэлея — Тейлора изменяет распределение энтропии в слоистой жидкости. Таким образом, эту неустойчивость можно рассматривать как проявление «энтропийной волны», которая является решением линеаризованных МГД-уравнений для бесконечной однородной плазмы, представляющим собой разрыв в распределении энтропии. Спектр энтропийных волн, состоящий и однородной среде из одного собственного значения (у2 = 0), в слоистой среде переходит в непрерывный спектр (у2(Ч. )*
Если вместо адиабатической модели или модели несжимаемой жидкости используется изотермическая модель, то неустойчивость Рэлея—Тейлора будет вызываться обращенным градиентом температуры (холоднее сверху и теплее снизу), а не градиентом энтропии или плотности. Термин изотермическая модель означает, что температура при движении жидкого элемента не меняется:
d
Ж
T 0, где р = р7\
(3.2.8)
Изотермическая модель следует из адиабатической при F=L Используя такое значение отношения удельных теплоємкостей в вариационном принципе (3,2.6), получаем:
Тиэотсрм
fr' < *р
-s
1 дТ
T ду
s
(3.2.9.)
44
§ 3.3. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ - ТЕЙЛОРА В МГД-МОДЁЛЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В последних двух примерах рассматривалась гидродинамическая модель, в которой жидкость была неэлсктропроводна и не взаимодействовала с магнитным полем. Для того чтобы выяснить влияние магнитного поля с шнром
В Вх{у)х+Вя(у) z
(З.З.Ї)
на неустойчивость Рэлея — Тейлора, в этом параграфе в качестве примера будет рассмотрена МГД-модель плоского слоя идеально проводящей жидкости, помещенного в вертикальное поле тяжести (ри^З.З), Термин шир означает, что магнитное поле имеет разное направление на разной высоте. В этом примере магнитное поле на любой высоте однородно и имеет прямые силовые линии, по его значение, как и направление, меняется с высотой. Это означает, что эффекты, связанные с кривизной магнитного поля, отсутствуют, однако, вообще говоря, в плоскости X—z течет равновесный ток.
Система координат выбрана таким образом, что волновой вектор возмущений направлен вдоль оси как показано на рис, 3,3. Для того чтобы упростить анализ, мы снова вернемся к модели несжимаемой жидкости; выше мы уже видели, каким образом можно обобщить результаты на другие термодинамические модели.
