Основы менеджмента - Зайцева O.A.
ISBN 5-88860-048-2
Скачать (прямая ссылка):
Для того, чтобы применить метод линейного программирования, менеджеру нужно определить два количественно измеримых элемента. Во-первых, количественно измерить цель, т. е. параметр, который должен быть минимизирован (время, затраты или используемые ресурсы) или максимизирован (объем продаж, прибыль или объем выпуска). Кроме этого, для применения метода ЛП необходим набор ограничений (ресурсы, мощности или время), т. е. то, чем мы в реальности располагаем для достижения этой цели.
Когда определена цель, она должна быть представлена в форме линейного алгебраического уравнения (впоследствии будем называть это уравнение целевой функцией). Ограниченность в ресурсах, мощностях или времени, имеющихся в нашем распоряжении для достижения этой цели, должна быть представлена в виде алгебраических неравенств. Цель и ограничения представляются в алгебраической или графической, форме для того, чтобы мы могли математическими методами «решить» (в прямом смысле этого слова) проблему.
Наверное, лучший способ объяснить применение метода линейного программирования — показать его действие на простейшем примере.
Тягачи Автобусы Количество имеющихся ресурсов в неделю Металл для корпуса (на един.) 40 футов 20 футов 400 футов Рабочие часы 8 часов 12 часов 200 часов (на един.)
Прибыль (на един.) $10 000 $12000 Таблица 8.4. Производственные данные
Сарина Смит, недавняя выпускница Клемсонского университета, получила место стажера на новой фабрике компании Mack Truck в Винсборо. Специализацией Сарины в университете был производственно-операционный менеджмент (ПОМ), и она присоединилась к производственно-плановому персоналу компании. Одним из ее первых заданий было определение оптимального объема производства в неделю двух видов машин — тягачей и автобусов. Для того, чтобы справиться с этой задачей, она решила применить метод линейного программирования. В табл. 8. 4 приведены данные, которые были ей представлены. Эта таблица требует некоторых пояснений. В цену каждой машины включается определенный процент прибыли, что составляет $ 10000 на 1 тягач и $ 12000 на 1 автобус. Два основных ресурса, ограничивающих выпуск тягачей и автобусов на заводе в Винсборо — это металл для корпуса машины и рабочее время. Таким образом, в задачу Смит входит определить, сколько должно производиться в неделю тягачей (Т) и автобусов (А), чтобы прибыль (П) была максимальной.
Наша задача может быть представлена алгебраически через следующую целевую функцию,
Птах = $ 10000 T + S 12000А,
где Т — количество тягачей; А — количество автобусов.
Естественно, эта задача должна быть решена с учетом ограничений, представленных в табл.8.4. В данном примере Смит должна учитывать два ограничения, количество металла для корпуса и количество рабочих часов в неделю. Она написала следующие неравенства, количественно определив ограниченность в ресурсах:
Металл для корпусов 40Т + 20А< 400
Рабочие часы 8Т+12А< 200
И так как каждая из машин может или производиться в определенном количестве, или не производиться вообще, Смит включила еще два ограничения, Т > О, А > 0.
Вот с этой точки Смит может начать решение задачи графически или алгебраически (с помощью системы уравнений и неравенств). Далее будут представлены оба метода.
Графическое решение
Графический метод решения задачи используется тогда, когда имеется только 2 переменные (как в нашем примере — тягачи и автобусы).
При использовании графического метода мы наносим ограничения на график. Для этого мы предполагаем, что производство одного вида машин максимально, когда производство машин другого вида равно 0. Затем мы отмечаем эти цифры на системе координат. Если,
например, тягачи не производятся (Т = 0), то количество автобусов, которые могут быть произведены из 400 футов металла, находятся следующим образом:
40Т + 20А<400. 40(0) + 20 А < 400. ,20 А < 400. А < 20.
Теперь предположим, что не производятся автобусы /А = 0/, тогда количество тягачей равно: 40Т + 20А<400. 40Т + 20А<400, 40Т<400. Т<10.
Эти точки (А = 20; Т=0) и(А = 0; Т- 10) отмечаются на системе координат и соединяются линией, представляющей собой линию ограничения в использовании металла, как и показано на графике 8.5.
Следующий шаг в графическом решении задачи, делаем те же манипуляции и с другим ограничением — рабочим временем.
Если не производятся тягачи, то
8Т + 12А <200.
8(0) + 12 А < 200.
12 А < 200. А < 16,66.
Если же ие производятся автобусы, то
8Т+12А<200.
8Т + 12(0) < 200.
8Т<200.
Т< 25.
Эти точки (А = 16,66; Т = 0) и (А = 0; Т = 25) отмечаются на системе координат и соединяются линией, представляющей собой линию ограничения в использовании рабочего времени.
Рис. 8.5 показывает, как выглядит окончательное решение этой задачи. Закрашенная часть графика, полученная пересечением двух линий ограничений и осей координат, определяет ту область, которая удовлетворяет обоим ограничениям. Этот кусочек, называемый «приемлемая зона», ограничен точками А, Е , О и точке 0. Вернувшись к нашему примеру, мы видим, что любая комбинация количества выпускаемых в неделю тягачей и автобусов внутри этой области приемлема для завода в Винсборо. Оптимальное ее сочетание количества производимых в неделю тягачей и автобусов, которое дает максимальную прибыль, будет находиться в одном из углов четырехугольника АЕОО. В точке В завод производил бы 16 2/3 автобусов в неделю и не производил тягачи. Прибыль равна . Находясь в точке С, завод производил бы 10 тягачей в неделю и не производил бы автобусы. Прибыль бы равнялась 10 х $ 10000 = $ 100000. В точке Е, на пересечении двух линий ограничений, завод производил бы 2,5 тягачей и 15 автобусов каждую неделю. Прибыль бы равнялась 2,5 х $ 10000 + 15 х $ 12000 = $ 205 000. Очевидно, что в последней точке (Е) прибыль максимальна. Производство такого количества машин подразумевает использование всех 400 футов металла (2,5 х 40 + 15 х 20) и 200 рабочих часов (2,5 х 8 + 15 х 12). Точка пересечения обычно и является оптимальным решением, но менеджер может выбрать любое приемлемое решение, не обязательно оптимальное. На это может повлиять ряд причин. Например, управление компании может настаивать на выпуске определенного количества тягачей, независимо от оптимальной комбинации в условиях прибыльности завода.
