Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
В ряде случаев проценты представляют скидку с некоторой конечной суммы, принимаемой за 100%. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной.
Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, называется дисконтом. Обозначим учетную ставку через d. Если вексель учитывается за один год до погашения, то величина дисконта может быть определена по формуле D = TV • d, а сумма, которую получит векселедержатель (она является в данном случае первоначальной), определится так:
P = TV- TV- d = TV- (1 - d). (1.5)
В ситуации, когда учет происходит за несколько лет до погашения, формула (1.5) при использовании простой учетной ставки принимает вид
для двух лет: P = TV- (1 - d) - TV- d= TV- (1 - 2d); для трех лет: P= TV- (1 - 2d) - TV - d = TV- (1 - 3d);
для п лет: P = TV - (1 - nd).
Так же как ставка наращения, учетная ставка может быть простой и сложной. Случай простой учетной ставки рассмотрен выше. Если используется сложная ставка, то формула расчета первоначальной суммы будет иметь вид
P= TV-(I - d)". (1.5а)
Номинальная, периодическая и эффективная ставки. Номинальная процентная ставка — это исходная годовая ставка, которую назначает банк для начисления процентов. В своей исходной (номинальной) величине данная ставка может быть использована при начислении процентов один раз в году. Если проценты начисляются более одного раза в году, то установленная величина корректируется в зависимости от количества таких начислений.
Термин "номинальная ставка" иногда используется также для обозначения процентной ставки, "не очищенной" от инфляции, в отличие от реальной — "очищенной" ставки (см. п. 1.4). В этом случае номинальная ставка описывает совершенно другие процессы, нежели начисление процентов. Равноправное хождение имеют обе трактовки номинальной ставки.
Поскольку во многих случаях проценты начисляются несколько раз в году, годовая ставка должна быть соответствующим образом преобразована. Если проценты начисляются т раз в году, то для разового начисления процентов используется так называемая периодическая ставка. Иногда ее называют релятивной1. Период, за который начисляются проценты, называется конверсионным.
Кочович Е. Финансовая математика. M.: Финансы и статистика, 1994. С. 77.
11
Периодическая процентная ставка (обозначим ее через у) может быть определена двумя способами.
1. Если известно количество начислений процентов в течение года, то
ур = у/т, (1.6)
где у — номинальная процентная ставка; т — количество начислений процентов в течение года.
2. Если известно количество дней, за которые начисляется процент, то
ур = у z/K
где z — количество дней, по истечении которых осуществляется разовое начисление процента; К — принимаемое в расчет количество дней в году (A^ = 360 или 365 дней).
Предположим, что начисляются сложные проценты т раз в году. По истечении первого периода, в течение которого начисляется процент, наращенная сумма средств составит
TVm\ = P + P ' У/™ = P(I+ У/т). По окончании второго периода
ТКп2 = P(I + УМ + Pd+ y/m)y/m = P(I+ y/m)2. В целом за год
TV = Р(\ + y/m)m, (1.7)
где m — количество начислений процентов в течение года.
Если финансовая операция продолжается п лет, то формула (1.7) будет иметь вид
TV= Р(\ + y/m)m".
Теперь необходимо определить, во сколько раз и на сколько процентов увеличивается первоначальная сумма за год. Вычтя P из обеих частей выражения (1.7) и разделив остаток на P9 находим
TV-P P(I + y/m)m - P і л \ і \tn і -р-= —1-^p2-= (1 + y/m)m- 1.
Отсюда видно, на сколько увеличилась первоначальная сумма. Переведя этот результат в процентное исчисление, имеем
/э= [(1 + y/m)*" - 1] • 100, (1.8)
где величина /э — эффективная ставка.
12
Формула (1.8) показывает, на сколько процентов увеличилась первоначальная сумма.
Дискретная и непрерывная ставки. Дискретная процентная ставка — это ставка, при которой процент начисляется за заранее установленные, или определенные, периоды.
Если уменьшить период начисления процентов до бесконечно малой величины (период, за который будут произведены начисления, стремится к нулю, а количество начислений процентов — к бесконечности), то проценты будут начисляться непрерывно. В этом случае процентная ставка называется непрерывной или силой роста.
Из курса математического анализа известно выражение:
Hm (1 + 1/л)" = е,
где е — число Эйлера, которое используется как основание натурального логарифма (2,71828...), или lim (1 + а/п)" = еа.
Обозначим годовую непрерывную ставку через д. Применительно к случаю непрерывной ставки имеем
lim (1 + q/m)m = e«.
Таким образом, для случая непрерывного начисления процентов наращенная сумма за п лет определится формулой
TV = Pe«".
(1.9)
Эффективная ставка при непрерывном наращении рассчитывается
так:
/ =(<*-!)• 100.
(1.10)
На рис. 1.1 показан график начисления процента при дискретном и непрерывном наращениях.
