Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Одним из методов оптимизации портфеля является диверсификация Марковица.
Диверсификация Марковица основана на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе — функция Лагранжа.
77
Целевая функция данной задачи. Обозначим дисперсию портфеля oj. Тогда
oJ = XI хх; а|7 -> min,
і j и
i=\j=\
(7.17)
где л,. — доля /-й ценной бумаги в портфеле; Xj — доляу-й бумаги в портфеле; ст.. — ковариация данных бумаг.
Ограничения:
1) средняя доходность портфеля
(7.18)
где Xj — доля /-й ценной бумаги в портфеле; Дг;) — ожидаемая доходность /-й ценной бумаги;
2) Z*,= 1.
(7.19)
Для решения этой задачи необходимо сформировать функцию JIa-гранжа:
L = HxjXjOy + K1(Zx1E(F1) - E) + X2(Sx, - 1),
(7.20)
где X1, K2 — множители Лагранжа.
Портфель, минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:
IdL I Bx1 - 0,
[clL I 3X1 = 0,
где / = 1,2.
Перепишем нашу задачу для случая, если i,j = 1, 2, 3:
L = X12O1, + X2O22 + *з°33 + 2X1X2O12 + 2^1X3O13 + 2х2х3о2з + + X1 (X1^r1 ) + x2E(r2) + x3E(r3)-E) + X2(X1 +X2 +X3-1);
oLl дХ\ = 2X1O11 + 2х2о12 + 2х3о13 + X1Z^r1) + X2 =0, Ы1 дх2 = 2X1O12 + 2х2о22 + 2х3о23 + X хЕ(г2) + \2 =0, c)L/dx3 = 2X1O13+ 2х2о23 +2х3о33+ Xj?(r3) +X2 =0, ciL/OX1 =x1?(r1) + x2?(r2) + x3?(r3)-?' =0,
сії / с)Х2 = X1 +X2 +X3
-1=0.
Представим систему в матричном виде:
2ом
2о12
2о,з
Дг,)
1
Го]
2о21
2о22
2о23
Дг2)
1
Х2
о
2о31
2о3,
2о33
Д'з)
1
*
Xi
=
о
Дг,)
Дг2)
Дг3)
О
О
\
E
1
1
1
О
0,
W
(7.21)
78
Если обозначить матрицу через Я, вектор — через А и вектор в правой части — через G, то получим матричное уравнение:
HA=G, A = Я-' • G.
(7.22) (7.23)
ПРИМЕР. Имеются три акции. Запишем их характеристики в виде следующей таблицы (табл. 7.5).
Таблица 7.5
Номер акции (і)
E(O
° И
°и
1
2 3
0,06 0,09 0,18
0,35 0,42 0,75
оп = -0,1 о23 = 0,42 o13 = 0,30
0,70 -0,20
0,60
0,06 і'
-0,20 0,84
1,0
0,09 1
H =
0,60 1,0
1,5
0,18 1
0,06 0,09
0,18
0 0
1
1
1
0 0.
0
G =
0
E
' 0,416
-0,555
0,138
-3,481
0,723
-0,55
0,74
-0,185
-6,47
1,035
0,139
-0,185
0,046
9,951
-0,759
-3,481
-6,4695
9,951
-12,836
-4,057
0,724
1,035
-0,759
-4,057
-0,399
=
Л.
-3,481 • E + 0,723 -6,47 • E + 1,035 9,951 • E - 0,759
Если мы представим, что инвестор хочет получить доходность E = 12%, то получим: jc, = 0,305; X2 = 0,259; Jc3 = 0,435; Z, X1 - 1.
79
Глава 8
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ
Модель оценки капитальных активо в (Capital Asset Pricing Model — САРМ) впервые рассмотрена Уильямом Шарпом. Можно отметить ряд предпосылок модели1:
1) оценка портфелей осуществляется инвесторами на основе ожидаемой доходности портфеля и его риска, измеряемого среднеквадратичным отклонением;
2) активы бесконечно делимы и абсолютно ликвидны;
3) все инвесторы могут получать взаймы и давать в долг по безрисковой ставке;
4) не существует трансакционных затрат и налогов;
5) все инвесторы одинаково информированы и одинаково оценивают риск и доходность активов.
Выше было показано, как формируется портфель, состоящий из рисковых активов. Но инвестор может создать портфель, включающий наряду с рисковыми безрисковый актив. Этот актив имеет нулевой риск и некоторую безрисковую доходность, которую обозначим через (рис. 8.1). В этом случае инвестор выбирает из портфелей, характеристики которых находятся на графике на прямой линии, соединяющей точку безрисковой доходности и точку M касания этой линией эффективного множества рисковых портфелей.
Рис. 8.1
Кривая безразличия касается прямой rfM на более высоком уровне и обеспечивает формирование предпочтительного портфеля по сравнению с любым рисковым портфелем, лежащим на границе эффективного множества. По сути происходит изменение положения эффективного множества, которое перемещается на прямую rfM.
1 Шарп У.Ф., Александер ГЛ, Бэйли Д.В. Инвестиции. M.: Инфра-М, 1997. С. 259.
80
В условиях равновесия рынка капитала портфель M состоит из рисковых активов, включаемых в данный портфель пропорционально их доле в рыночной стоимости всей совокупности активов. Поэтому он называется рыночным портфелем.
Линия rfM называется линией рынка капитала (Capital Market Line — CML).
Уравнение линии рынка капитала записывается следующим образом:
где г — ожидаемая доходность портфеля, состоящего из рисковых и безрисковых активов с учетом отношения к риску данного инвестора, а величина (гм — rj)/oM характеризует тангенс угла наклона линии рынка капитала1.
Выше рассмотрены соотношения риска и доходности инвестиционных портфелей. Исследуем зависимость доходности отдельной ценной бумаги и рыночного портфеля.
