Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
AG FG'
'* = 'н +
(3.25)
45
где ан и ав — коэффициенты приведения ренты, рассчитанные исходя из нижней и верхней границ ставки процента. Величины /н и /в определяются методом проб и ошибок. Величины а или s задаются условиями задачи.
ПРИМЕР. На основе ежегодных взносов 10 тыс руб. предполагается создать фонд 120 тыс. руб. в течение 5 лет. Какова должна быть учитываемая в расчетах ставка процента?
Решение. Расчеты проведем по формуле (3.25), s = 120/10 = 12. Предположим, что /н = 35%, /в = 50%. Найдем значения коэффициентов наращения ренты для ставок /н и /в: коэффициент наращения при ставке процента, находящейся на нижней границе: sH = [(1 + 0,35)5 - 1]/0,35 = 9,95; коэффициент наращения при ставке процента, находящейся на верхней границе: 5В = [(1 + 0,5)5 - 11/0,5 = 13,19.
12 - 9 95
Искомая ставка процента: / = 0,35 + _ " • (0,5 - 0,35) = 0,448,
или 44,8%. 13'19 9'95
п (1 + 0,448)5 - 1 Проверка: s--= 11,98.
Значение s = 11,98 близко к фактическому значению s =12, значит, найденная ставка процента рассчитана достаточно точно.
Метод Ньютона— Рафсона1. Если есть уравнение f(x) = 0, где х — корень уравнения, то решить его можно итеративным путем (последовательным приближением), т.е. выполнением ряда последовательных этапов (итераций) расчета. Количество итераций зависит от требуемой точности расчета величины jc.
Искомая величина х определяется на основе рекуррентного соотношения, выраженного формулой:
=хк-Лхк)//'(хк), (3.27)
где f(xk) — значение функции Дх) при х = хк; f'(xk) — значение первой производной функции f(x) при X = хк; к — индекс (номер) итерации.
Последовательность расчетов может быть следующей. Сначала задается значение X на нулевой итерации X0. Находятся значения Дх0) и f'(x0). Эти величины подставляются в формулу (3.27) и на этой основе определяется х{. Если X1 дает хорошее приближение решения уравнения J[x) = = 0, то расчеты прекращаются и величина х = jc, принимается за корень данного уравнения. В противном случае расчеты продолжаются, и далее аналогичным образом рассчитываются х2, хг и т.д. в зависимости от сходимости и требуемой точности расчетов.
1 См.: Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. M.: ЮНИТИ, 1999. С. 381-384; Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 104-105.
46
Для использования метода Ньютона—Рафсона необходимо построить функцию f{x). Для этой цели можно использовать коэффициент как наращения, так и приведения. Рассмотрим применение коэффициента наращения S/R = [(1 4- 0" - 1]//.
Обозначим через q величину (1 4 /), тогда S/R = (qn — \)/(q — 1), (S/R)(q - 1) = <Г - 1, (?" - 1) - (S/R)(q - 1) = 0.
Отсюда искомая функция будет иметь вид
Aq) = W- D-^-I). (3.28)
Найдем
f(q) = п • <rl - -f. (3.29)
Теперь все величины известны и можно записать
1 4 / = q — это аргумент функции /(#), которая формируется при заданных S и R.
Значение q находится итеративным путем по описанной выше процедуре метода Ньютона—Рафсона.
Чтобы осуществить расчет на первой итерации, надо знать показатель
Задаем q0 так, чтобы расчетное значение 5 было близко к величине S/R. Например, берем q0, исходя из /0 = 44% (для рассмотренного определения процентной ставки методом линейной интерполяции), откуда следует q{) = 14 0,44 = 1,44. С каждой итерацией значение qk уточняется и приближается к более точному.
Найдем значение функции и ее производной:/(1,44) = (6,1917 - 1) -- 12(1,44 - 1) = -0,0883;/'(1,44) = 5 • 1,444 - 12 = 9,499.
Теперь можно произвести расчеты: qx = qQ - Ая)/ҐІЯ) = 1,44 -
-J=|^-i^924 Z1 - 44,92%.
Проверка: 5 = [(1 + 0я - І]/і = (1,44925 - 1)/0,4492 = 12,004.
Фактически величина 5 равна 12, а мы получили 12,004. Предположим, что такая точность нас устраивает, и поэтому прекратим дальнейшие расчеты.
Выше для расчетов процентной ставки мы использовали коэффициент наращения ренты. Рассмотрим применение для этой цели коэффициента приведения. Искомая функция J[q), а также f'(q) будут иметь вид:
f(q) = for" - D °' (3-31)
47
f\q) = j - n ¦ <Г<"+1>.
(3.32)
Для случая ^-срочной ренты
Aq) = (q'" -l)+j-k-(ql-l),
(3.33)
f'(q) = A/R- qV '/-я- q~("+i\
(3.34)
ПРИМЕР. Определить доходность инвестиций, выраженную в виде годовой ставки процента, если вложения составили 100 млн руб.; ожидается отдача в виде квартальной ренты постнумерандо при годовой сумме дохода 20 млн руб. Срок ренты 10 лет.
Решение. Начальная стоимость инвестиций 100 млн руб. — это современная стоимость ренты; R = 20 млн руб. У нас ^-срочная рента, значит, платежи начисляются ежеквартально по 5 млн руб. Известно, что A/R = = 100/20 = 5. Значит, можно приблизительно определить ставку процента на уровне /0 = 20% (см. приложение), q0 в этом случае равно 1,2. Теперь можно найти fiq) и f'(q):
Л 1,2) = (1,2"10 -1) + 5- 4(1,21/4 - I) = 0,005; /'(1,2) = 5 • 1,21/4"1 - 10 • 1,2—< ю о = 2>423. Следовательно, q{ = 1,2 - 0,005/2,423 = 1,178, a Z1 = 17,8%. Подставив найденное значение процентной ставки в формулу исчисления коэффициента приведения для 10 лет, ^-срочной ренты и т = 1, получим расчетное значение данного коэффициента (ярасч ) и сравним его с фактическим значением (яфакт): аржч = 4,82; яфакт = А/R = 5. Значения ярасч и яфа1СГ близки, но не равны друг другу. Поэтому если такая точность устраивает исследователя, то можно ограничиться одной итерацией. В противном случае следует перейти к следующей итерации.
