Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 2 - Вест А.
ISBN 5-03-000071-2
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, получены выражения для величин k и, следовательно, Е, для которых выполняется условие дифракции Брэгга в любой кристаллической структуре.
Применим, например, уравнение (14.5) к примитивной кубической решетке с параметром элементарной ячейки а. Самым большим межплоскостным расстоянием d в такой структуре является расстояние между плоскостями (100). Для него dm — a. Рассчитаем значения К при которых происходит дифракция электронов на плоскостях (100). Для отражений первого порядка (п=1) на плоскостях (100) k может принимать, любые значения, равные или большие, чем я/а. Для k = n/a 9 = 90°, a sin 0 = 1. Это — критическое значение -параметров дифракции, при которых электронные волны направлены перпендикулярно плоскости отражения (100). Для k>n/a sin0<l и 0<9О°. Это — общее условие возникновения дифракции при брэгговских углах 0<9О° (рис. 14.10, а). Проекции плоскостей (100) на рис. 14.10, а изображены вертикалями, поэтому ось х элементарной ячейки горизонтальна.
Дифракционная картина, представленная на рис. 14.10, а, является изображением в реальном пространстве. Ей может быть поставлена в соответствие картина в обратном пространстве или, как говорят, в ^-пространстве (рис. 14.10,6). При таком изображении волновой вектор к величиной л/а sin в;
70
14. Электронные свойства и зонная теория
направленный под углом (90—8)° по отношению к оси х, изображается отрезком такой же длины (в соответствующем масштабе) и в том же направлении от некоторой произвольной точки, т. е. от некоторого начала координат. Изображенные на рис. 14.10, б волновые векторы направлены под углами 0 = 45, 60 и 90°, а также под некоторым произвольным углом 0. Можно показать, что соблюдение соотношения (14.5) и геометрических законов приводит к тому, что все векторы к заканчиваются
дует рассматривать семейство пкоскостей {100}, включающее плоскости 1(100), (100), (010), (010), (001) и (001). Каждой из плоскостей соответствует грань зоны Бриллюэна (100). В трехмерном пространстве такая зона имеет форму куба (рис. 14.11). Эта зона называется первой зоной Бриллюэна, так как в примитивной кристаллической решетке она соответствует плоскостям с наибольшим межплоскостным расстоянием с1. Эта зона также соответствует наименьшему волновому вектору к и наименьшим энергиям, так как коей*1. Необходимо также отметить, что грани зоны Бриллюэна параллельны плоскостям дифракции {100}. Это также относится к другим зонам Бриллюэна.
Как отмечалось выше, первая зона Бриллюэна в примитивной кубической решетке соответствует дифракции на плоскостях {100}. Вторая зона Бриллюэна возникает при дифракции на плоскостях {110}. В семейство {110} входят 12 плоскостей. В этом случае зона Бриллюэна имеет форму правильного
Рис. 14.9. Квадратичная зависимость энергии свободных электронов Е от величины волнового вектора к.
Е
0 к
I
на вертикали ХУ. В трехмерном пространстве линия ХУ преобразуется в плоскость, которая образует границу зоны Бриллюэна (100). В к-пространстве положение этой границы представляет собой условие, при котором соблюдается закон Брэгга для отражения первого порядка (п=1) от плоскости (100) при использовании излучения с различной длиной волны и разными волновыми векторами к.
В трехмерном пространстве для примитивной кубической решетки еле-
14.3. Усовершенствование простой зонной теории
71
додекаэдра (на рисунке не изображен), который окружает первую зону Бриллюэна кубической формы. Плоские сечения первой и второй зон Бриллюэна показаны на рис. 14.12.
Для веществ с объемноцентрированной кубической решеткой (например, для натрия) первой зоной Бриллюэна является тот самый правильный додекаэдр, о котором говорилось выше. Он соответствует дифракции на плоскостях {ПО}. Это объяснясь Реальное пространство б к -Пространство
X
граница зоны
юо юо юо юо Бриллюэна(ШО)
Рис. 14.10. Дифракция электронов иа плоскостях (100) в реальном пространстве (а) и возникновение границы зоны Бриллюэна в /г-пространстве (б).
ется тем, что на рентгенограммах веществ с объемноцентриро-ваниыми решетками рефлексы 100 погашаются.
Для веществ с гранецентрироваиной кубической решеткой (например, для «у-Ре) первая зона Бриллюэна имеет форму усеченного октаэдра с 14 гранями. Причиной этого является то обстоятельство, что дифракция идет как на семействе плоскостей {111}, так и на семействе плоскостей {200}. В набор этих плоскостей входят восемь плоскостей {111} и шесть {200}. Усеченный октаэдр можно рассматривать как октаэдр, у которого каждая из шести вершин срезана так, что образовался квадрат.
Рассмотрим энергию валентных электронов и их положение в ^-пространстве. Электроны, которые находятся вблизи дна валентной зоны металлов или полупроводников, имеют относительно низкую энергию и низкую величину вектора к. Поэтому в ^-пространстве они находятся глубоко внутри первой зоны Бриллюэна и их волновые векторы к заканчиваются, не достигая границы зоны. Поскольку энергия электронов возрастает по
72
14. Электронные свойства и зонная теория
