Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
в области II (0 <; х* а): гр2 = Се1" + Ое-1" (к = ^2т{Е - V) );
в области III (х > а): ф3= Ее** (к = >[2тЁ). (3.4.7)
Условия сшивания функций и их первых производных в точках разрыва потенциала (х = 0, х = а) приводят к выражениям всех коэффициентов через какой-либо один из них, например черезЛ. Не будем выписывать все эти выражения, а представим лишь два из них:
-1
?=
2сЬка - [[— - — ^Ька к к/
А, (3.4.8а)
В = -/(— - —^ $\\ка к к)
-1
Л. (3.4.86)
2сЬка - г[ — - — ^ $Ька
и к)
Во временной картине функция гр3 представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении х. Квадрат модуля ее дает (в некоторых относительных единицах, потому что функция \\)(х) пока еще не нормирована) плотность вероятности найти частицу в соответствующей точке области III:
|Р |2 = К'*2 2 2 2 И2 (3-4.9)
4к2*2 +(к2 +*2) 8ь2ка
(здесь учтено то, что сп2* - ь\12х = 1). В функции *ф1 первое слагаемое отвечает такой же волне, хотя и с другой амплитудой, тогда как второе - волне, распространяющейся в отрицательном направлении. Если теперь записать некоторый волновой пакет
со
$скЦ(к)<1к
о
то далее из него можно выделить в области I то слагаемое, которое отвечает пакету, распространяющемуся в положительном направ-
181
лении и представляемому волновой функцией вида
4^=/с* (А* (3.4.10)
и пакету, распространяющемуся в отрицательном направлении (функция Ч*!_, соответствующая второму слагаемому выражения \\>х(к) в области I). В области III по выбранному построению будет лишь волновой пакет, распространяющийся в положительном направлении. Пусть (опять-таки ради простоты) коэффициенты ск отличны от нуля лишь в достаточно узкой области изменения к:
Л, ? к ? ?2, причем всюду в этой области ск = 1/^к2 - кх .
Коэффициенты Ак также можно заменить на некоторое их среднее значение А. Тогда квадрат модуля функции (10) сведется к виду
|Ф^-|А|2/Л/Л'С;.сА *'<*-*'>*-
= А|2---—\\-со&(к? -к%)х\.
(к2-кх)х2{ ]
Аналогично будут записываться и квадраты модулей других
компонент функции Ч* . При переходе к моменту времени / = 0
появятся более сложные зависимости, однако существенно то, что
они будут представлять собой произведения квадратов модулей
коэффициентов А, В и т.д. на некоторые более или менее
одинаковые функции, зависящие от параметров, задающих
волновой пакет. Поэтому о том, как распространяется пакет, какова
вероятность обнаружить частицу в той компоненте волновой
функции Ч1, которая отвечает пакету в области III, и какова
вероятность обнаружить ее в той компоненте, которая в области I
распространяется в отрицательном направлении - обо всем этом
весьма качественно можно судить по относительным величинам
А] , |Д|Аи ? х. Поэтому величины X/ = |?|г /\А\А и хг = /\А\А носят название коэффициентов прохождения и отражения соответственно. Если они вычислены для какого-либо определенного к, то говорят, что эти величины относятся к каналу к.
Так, используя выраженгие (9), получим:
2
X/ =
4к2*2
4к2*2 +(к2 +к2)2ьЪ2ка
4(У-Ек)Ек
4(У-Ек)Ек +У28п2 уІ2т(У -Ек)а
При больших значениях ка, т.е. при большой высоте той части барьера У-Ек, которая находится над рассматриваемым уровнем энергии Ек, либо при большой ширине барьера а или большой массе частицы т ъЪка можно приближенно заменить на ека ?2, так что выражение для коэффициента прохождения можно упростить до следующего:
*'- 4 - ^)те~2" •
Таким образом, коэффициент прохождения экспоненциально
А _^ V і
ч».
" чС
1 и X
-а 0 а ъ
Рис. 3.4.2. Туннельное расщепление в потенциале с двумя ямами.
убывает в зависимости от указанных параметров. Это - весьма важный качественный результат, широко используемый при обсуждении различных квантовых процессов, связанных с эволюцией
волновых пакетов1.
г. Туннельное расщепление. Для того, чтобы выявить ряд дополнительных особенностей, связанных с нестационарными состояниями, рассмотрим еще один модельный пример. Выберем потенциал одномерной задачи в том виде, как он изображен на рис. 3.4.2: V = со при |х| > Ъ\ V = 0 при а ? \х\ * Ь\ V = У0> 0 при \х\ < а.
1 На рассмотрении коэффициента отражения останавливаться не будем, поскольку на основе соотношений (8) можно показать, что % + хг = 1, так что например, по мере увеличения высоты барьера волновой пакет практически полностью будет отражаться от такого препятствия.
183
182
Используя обычную процедуру записи решений в областях I, II и III в предположении, что рассматривается лишь ситуация, когда Е < V0, получим следующие выражения для волновых функций:
симметричные (относительно инверсии х -» -х) решения
= Asin k(b + х) (к = 4lmE );
V„ = BchKx [к- pm(V0 - Е), cha = (ea + e"a)/2]; (3.4.11а)
4*in=Asin*(b-jc); антисимметричные решения
= Asink(b + x); Ч*и = BshKx [sha = (ea-e-a)/2]; (3.4.116)
Ч*т = -Asink(b - х).
Постоянные А и В, а также допустимые значения к и к определяются из условий сшивания этих функций и их первых производных в точках ±а, а также из условия нормировки. В частности, для кик получаются следующие уравнения:
