Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
индексы компонентов переставлены, например, Txv — Tyx, 7..,. = Txs и т. д. Тензор самосопряженный, для которого Tt = T и, следовательно, Tsxy = Tyж, 7?/;, — Tzy, Ttx = Тхг, называется симметричным, так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой. Операция умножения тензора на вектор эквивалентна операции (20) или (21) умножения вектора на сопряженный тензор, т. е. Ta—aT*. Если тензор симметричен, то Ta = аТ, и формулы проекций произведения Та совпадают с (20).
В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же как это имеет место и в механике твердого и упругого тела, придется неоднократно иметь дело с примерами различных тензоров. Подчеркнем важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19) и зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где задано поле, сам тензор от эгого зависеть не должен, так как он характеризует определенное физическое свойство конкретного поля величии.
Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по координатам, дифференциальным тензором векторного поля.1 Тогда, согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчивости) векторного поля служит дифференциальный тензор поля. Обозначая дифференциальный тензор поля буквой D и, полагая
да- ) — Г) — ddy да..
sea Qx ' "¦гц — IT' ~дх'
йа-г dav Dm = да,.
У ду ' ду ' 'Iv '
даг ^mc=> D — dav 1Г ' ZXr = даг IT'
будем иметь вместо (17) и (18), согласно (20) м (21):
§=Ш. (23)
Последняя формула .отчетливо показывает, что, независимо от выбора той или другой системы координат, физическая величина — производная физического вектора по определенному направлению в пространстве — выражается как произведение физического вектора — орта выбранного направления — на физический же тензор — меру неоднородности поля в данной точке пространства.
Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих параграфов можно предложить простой символический прием. Обо-
1 По аналогии градиент можно было бы назван, дифференциальным вектором скалярного поля. ^ 7] МЕРА ОДНОРОДНОСТИ поля 49
значим через V некоторый условный вектор с проекциями:
V»=7)I' ~ ду' srZ=W ^
представляющий символически оператор дифференцирования.
Тогда градиент скалярной функции ® можно рассматривать условно, как произведение вектора-оператора V на скаляр ©:
grad 9 = V®, (25)
и формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по правилам проектирования произведения вектора на скаляр:
(grad >л)х = V3S9 = и др.
При этом равенство (10) по (25) можно представить в виде
= bV? (26)
и рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как символическое произведение
^ = 1-V, (27)
вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, векторную или тензорную, за знак символического дифференцирования так:
4Н0-*)*
|Н (Ь?) а.
(28)
Принимая указанную символику, можно дифференциальный тензор D изобразить как диадное произведение двух векторов: символического V и дифференцируемого а:
D = V а, (29)
понимая под этой „диадой" тензор, составляющие которого легко определяются по простому правилу:
дах day
(Va)aja, = =-gj-, (Va)aw = Va^y = -gj-,
(Mw = VaAs = -^r и т. д.
Равенство (23), сообразно второму равенству (28) и (29), может оыть еще написано так:
= (I-V) a = I(Va). (30)
dl
4 Зак. 1841. л г. Лойцянскяй. 56
элементы теории поли. кинематика среди
[ГЛ. 1
Формулы (17) и (18) можно легко запомнить при помощи (30) и правила раскрытия скалярного произведения:
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии тока и траектории
В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические приемы задания движения.
Ближе всего к обычным способам задания движения подходит способ, связанный с именем Лагранжа.
Пусть некоторая частица жидкости или газа M (х, у, г) в момент времени t = t0 занимала положение M0 (jc0, у0, z0), тогда ее координаты х, у, г в любой момент t можно рассматривать как функции от времени t и параметров X0, _у0, Z0, определяющих выбор данной индивидуальной частицы М. Более обще, вместо декартовых координат точки M можно рассматривать любые ее криволинейные координаты а, Ь, с, связанные с х0, у0, Z0 соотношениями:
X0 = X0 (а, Ь, с), Уо=Уо(а, Ь, с), Z0 = Z0 (а, Ь, с).
Положение любой частицы M жидкости в момент времени t задается выражениями ее декартовых координат через величины t, а, Ь, с, называемые переменными Лагранжа-.
Задавая определенные значения параметрам а, Ь, с, получим обычные, принятые в кинематике точки уравнения движения данной индивидуальной частицы жидкости, откуда уже нетрудно найти уравнения траектории частицы и выражения проекции вектора ее скорости V dV
и ускорения V = -7Т-:
1 — дг '
x = fi(t\ X0, у0, z0) = <?t(t, а, Ь, с), У = U{t\ х0, у0, Z0) = %(t, а, Ь, с), z=Ai(t; xQ, у0, z0) = ®3 (/, а, Ь, с).
