Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный по величине производной скалярной функции по направлению внешней нормаличс поверхности уровня в данной точке и направленный по внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом grades; тогда, по определению,
grad о = ІІ- п, (9) § 7|
MefA однородности іїолуі
•і формула (5) эквивалентна следующей (рис. 4):
: I grad 91 cos (1, n) = (grad = 1 • grad ю.
dy
ИГ
Af,
(10)
Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля в данном направлении — производная скалярной функции по этому направлению — является проекцией градиента на рассматриваемое направление.
Из формулы (10) сразу вытекают выражения проекций градиента на оси декартовых координат:
(o-rado)* = -^, (grad <?),, = IJ-, (11)
(^1?)*=?-
Рнс. 4.
так как частные производные ® но х, у, г являются ни чем иным,
как производными от <р по направлениям осей координат. Далее, по обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента
(12)
її косинусы углов, образованных вектором градиента или, чго все равно, внешней нормалью к поверхности уровня с осями координат:
cos(n, х) --
cos (п, ,V)
COS (n, Z) :
S1 дх
О? ду
vm+m+m' dtp
_~dz___
(13) 46
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НОЛЯ- КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. !
Пользуясь (11) и известным выражением скалярного произведения, можем переписать (10) еще так:
df_. df
'гя
Г-+Л
T -- dz
(14)
dl "х а* 1 ду где, по определению единичного вектора 1,
Zai = Cos(Of), ^ = COS(O), 4 = cos (1,2). (15)
Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бесчисленное множество производных по всевозможным направлениям в данной точке поли однозначно выражается через совокупность
значений трех величин , и в этой точке. Само собой разумеется, что совершенно безразлично называть ли мерой неоднородности поля в данной точке вектор grad ® или эквивалентную ему совокупность
да де ду величин ^J,
Несколько сложнее решается аналогичный вопрос о мере неоднородности векторного поля в данной точке.
Пусть в данный момент времени задано поле вектора а в функции декартовых координат, т. е. вектор-функция а (х,у, г).
Приращение вектора а при каком-то бесконечно малом изменении координат точки M (х, у, z) найдем по формуле полного дифференциала:
Рис. S.
da =
да
дх
dx^^dy-Y'-^dz.
(16)
Если точка M (х, у, г) переместилась в смежное положение (рис. 5) M' (х -\-dx, у -j- dy, z'- \- dz) по направлению 1 на расстояние dl, то
dx — dl- cos (1, х), dy = dl ¦ cos (1, у), dz = dl ¦¦ cos (1, z)
и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано так:
da dl
I -+-I
ж дх ^ У
да
ду
К
или п проекциях
Aaie dl da,
da, ~dt
¦ I.
da„
da,,
v
¦I,
x дх da.
v
® дх
das
дх
ду da,.
У ду r da„ V ду
dz
da. t-
dz day dz : das
(17)
(18) MKPA ОДНОРОДНОСТИ ноля
47
Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля, где мерой неоднородности служит совокупность трех величин
^jLt , мерой неоднородности в данной точке векторного ноля
является совокупность девяти величин:
(19)
'Saa, Sax дад.'
дх ' ду ' dz
daV дау дау
дх ' дг
да~ Saz дая
ду ' дг і
Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей, а в своей совокупности эти девять величин определяют одну физическую величину — меру неоднородности векторного поля в данной точке.
Напомним,1 что, вообще, всякая совокупность девяти величин Tis3,, Twy ..., линейно связывающая по формулам:
а:с ~= ^xTscx -f- ЬуТуХ -j- A5Jsa.,
ау = ^1X^xy ~f" ЬуТуу bzTzy, az = ^aTscz ^ylyz bsFzzi
(20)
проекции физического2 вектора b с проекциями физического же вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором второго ранга-, при этом правые части системы уравнений (20) соответствуют операции умножения вектора на тензор, символически представляемой так:
а = ЬТ. (21)
Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем простой прием для их запоминания: составляя проекцию ні некоторую ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторым индексом, соответствующим оси проектирования произведения.
Операция умножения вектора на тензор не обладает, вообще говоря, свойством переместительности, т. е. аТфТа. Обозначим через Т* тензор, сопряженный с тензором Т, т. е. такой, у которого
1 См., например, Н. Е. К о ч н н, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. ОНТИ, ГТТИ, 1934, стр. 304.
"ектор называется физическим, если его величина и направление в про-PfCTBe не зависят от выбора системы координат; при этом отдельные его роекции, конечно, зависят от выбора направлення осей проектирования. 48 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ fl JI- 1
