Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Изложенный приближенный метод легко обобщается на случай пограничного слоя на теле вращения, обтекаемом осесимметричным потоком.1
При этом параметр / и все зависимости ?(/), H (f) и F(J) остаются теми же, что и в плоском случае. Отличие получается лишь в форме основной квадратуры (101), которая в случае тела вращения с контуром меридионального сечения, заданным уравнением гй = г0 (х) (х отсчитывается по обводу меридионального сечения), будет иметь вид:
1 Л. Г. Л ой ця нс кий, Ламинарный пограничный спой на теле вращения. Доклады АН СССР, т. XXXVI, № 6, 1942. § 89] ламинарный слой в сжимаемом газе (п = 1) 565
§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры
(« = 1)
В качестве простейшего примера применения уравнений (63) рассмотрим продольное обтекание пластинки. В этом случае р — Pca, р = О и, следовательно, в принятых безразмерных величинах система (63) может быть переписана в виде:
рв + а ао^+а^)
* Яг I г ЯV i)v\r i)v/' rir ' dv '
дх ду dyvdy/' дх 1 ду
ді і ді . ,, ,ч .,з ґ ди . ди
ді і ді . ,, ,ч .,з ґ ди . і
р»¦,¦-¦> Jji+(''—і)""-»!;"' -П'^-цуj - ¦
pi= I5 P = **,
і. A
с ay
или, производя очевидное сокращение в третьем равенстве при помощи первого:
ди , ди д ( ди\ д(ри) . d(pv) „
(104)
P = T'
А. А. Дородницын 1 указал общее преобразование координат, позволяющее придавать уравнениям пограничного слоя в сжимаемом газе форму, напоминающую уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Преобразование это определяется системой равенств в размерных величинах
ж у
і: = V^j ^dy, (105)
о о
где р0 и р0—давление и плотность в адиабатически и изэнтропическн заторможенном внешнем потоке.
Используя в (105) вместо P0 и p0 величины Pco и poo, будем иметь в случае пластинки (р — Pm) в принятых ранее безразмерных величинах:
у
— J р
(105')
1 А. А. Дородницын, Пограничный слой в сжимаемом сазе. Прикл., !цатем. и механ., т. VI. 1,942. 566 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и ГАЗА [ГЛ. VIIl
Формулы перехода от дифференцирования по х, .у к дифференцированию по S, Tj будут:
JL = JL-J-l3iriJL JL= о — (106')
дх ds ' Sx ду ' ду ' df,' ^ '
так как р является функцией не только у, но и х.
Первое равенство системы (104) преобразуется к виду:
„ ди . dt] ди , ди д ( ди\
рм si дї+ pv• pWq =р d^p W'
и, после сокращения на р и принятия в расчет последних двух равенств системы, дает:
'5+('?+")?-^^?)-
Из второго равенства (уравнения неразрывности) вытекает наличие функции тока <!>, причем:
дф_ дф __ дф_ дб дц дф _ дф drt
ра ду ~~~Р ідч' дх~ дЄ дх~д^~ де дх""
Отсюда можно заключить о справедливости соотношений:
дФ dt) . дф ,, „„,
"=?' «й+р»=—зі- (108)
Сравнивая с уравнением (107), видим, что, если ввести обозначение
"Й +Р* =^' (109)
то уравнения (107) и (108) приведутся к виду: ди
"Я
дцУ dV'
дф ~ дФ , „ = v = -^ (по)
Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение системы (104) — уравнение энергий; будем иметь:
, ді ¦ дк) дг . ді 1 д / д/\ , ґи 14**2 й/ди\2
или, сокращая обе части на р и используя обозначение (109) и последние два соотношения в системе (104):
•З+^-т^-'ф+р-ч^-'фР- с») § 89J ламинарный слой в сжимаемом газе (п = 1) 567
Принимая во внимание общие соображения об упрощении граничных условий путем перехода от пластинки (0 < дг < /) к бесконечной плоскости (0 < х < со), приведенные подробно в начале § 85 при изложении задачи о пограничном слое на пластинке в потоке несжимаемой жидкости, будем искать выражение для продольной скорости и(?, yj) и теплосодержания /(?, tj) в функции от одного аргумента С, представляющего комплекс
^ ~ 2УТ ' (112)
Тогда, согласно второму равенству системы (110), получим: n ifiVl с
J "(iih) aI = 2V^ J "(ivi)d(2Yl)-2^1J w(c)flt
0 0 о
Введем для краткости обозначение
г
2 j U(Qdi: = «(С); о
югда, как и в § 85, будем иметь следующие выражения функции гока (j/, скоростей и и v, а также производных (обозначаемых в дальнейшем штрихом) о г скорости и и теплосодержания і но С:
6 = УІ'і (С), (С), V = (?»' — о),
^ = _J_Ce-(C)f — = —о" (С), ^ = Э5 45 ' dr, 4/S' W дг? 85 w'
дг __ 1 » ./ ді 1
дб 2? ' дт) 2У" S
Подставляя эти выражения в первое из уравнений (110) и в уравнение (111), получим следующие два уравнения, служащие для определения неизвестных функций ю и і:
(Г-уу + ою" = 0, ]
I
(Jra-Y)' + 4-(^-1)МІГ"V"2+= о- Ї (ПЗ)
Граничные условия для <р будут те же, что и в случае несжимаемой жидкости:
при с = 0 9=0, и' = О, I
' ' (114)
при г = OO f = 2. I 568
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и ГАЗА
[ГЛ. VIIl
Граничные условия для безразмерного теплосодержания і могут быть разнообразны. Если задана постоянная вдоль всей пластинки безразмерная температура Tw, то граничные условия запишутся в виде:
при C = O при С = оо
t=T, і = 1
и» 1
(115)
Если на пластинке отсутствует теплоотдача, то граничные условия сведутся к следующим равенствам:
