Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
в свет монографии Н. Е. Кочина.1 В этой краткой, но весьма содержательной монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных как из пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной толщины. В настоящее время созданы различные методы расчета обтекания решеток, составленных из профилей произвольной формы,2 однако эти методы еще только начинают получать практическое применение. Точно так Же, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения потенциала обтекания и распределения скоростей и давлений по поверхности іТЬофиля в решетке оказывает метод электро-гидродинамических аналогий (ЭГДА).3
1 Н. Е. К о ч и н, Гидродинамическая теория решеток. Серия „Современные проблемы механики", Гостехиздат, 1949.
2 Н. Е. К о ч и н, Влияние шага решетки на ее гидродинамические характеристики. Прикл. матем. и механ., т. V, вып. 2, 1941;
JL А. Симонов, Построение профилей по годографу скоростей. Прикл. матем. и механ., т. V, вып. 2, 1941;
Э. Jl. Блох, Исследование плоской решетки, составленной из теоретических профилей конечной толщины. Труды ЦАГИ, вып. 611, 1947;
3 Желающим іглубить свои знания в области теории плоского движения рекомендуем монографию Jl. И. Седова, Плоские задачи гидродинамики. Гостехиздат, 1950.
21* ГЛАВА VI
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения
Общие уравнения изэнтропического плоского стационарного безвихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объемных сил и отвода тепла, согласно изложенному в гл. Ill, можно свести к интегралу Бернулли:
V2 , V2 , к р IП , Ф .
= =^const' W
уравнению неразрывности:
^K)+?) = 0, (2,
и уравнению изэнтропы:
const; (3)
к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря:
= №
ду дх
Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде:
ди . да dp . dv „ (0/ч
и произведем в этом равенстве замену:
Ё2-= . ^Lz=I___L ЁЕ — P dff
дх dp " дх ~ а2' р дх а* дх'
Jp. — . ЁЕ._ P___L ІЕ-_ P д§
ду dp " ду ~ я2 * р ду ~ а"- ду '
или по (1):
дх cfiK дх ^v дх)'
ду а*\и ду г ду)' § 50] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ 325
Тогда уравнение (2') после простых преобразований сведется к такому:
'?-(?+?)+("-^-"- <5>
В ЭТОМ уравнении две неизвестных функции U UV могут быть сведены к одной—потенциалу скоростей <р (я, у), так как, согласно (4), будем, очевидно, иметь:
_^p _
дх' ду' '
Что касается величины а2, то связь ее со скоростью газа V в данном месте определяется интегралом Бернулли
V2 а2
-2-+7^1= const'
так что
сопй cons, [(^)4(?)'].
Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции о (х, у), вопрос об интегрируемости которого при заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5), сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения СО скоростью Voo, ПЛОТНОСТЬЮ Poo, давлением Po3 И т. д.
Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем иметь:
"=Vr00-I-и', V = V, P = Pco-I-P', P==P00+/, а = ат-\-а',
где величины и', V , р', р' и а*, так же как и их производные по координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать их квадратами и произведениями.
В этом предположении будем иметь вместо (5) следующее линейное уравнение:
(?-^?+?,?= о,
V
которое, после введения числа Мда = — , перепишется так:
aOO
(8) 326 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. Vl
Разбивая потенциал скоростей с? на потенциал однородного потока и малый потенциал о' возмущений, будем иметь:
Кос* + ?', )
SsL V'-2sL f (9)
с' ду ' J
© :
дх' ду
после чего уравнение (8) приведется к виду:
0-*??+^=". 04
Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая функция у), по аналогии с несжимаемым потоком называемая функцией тока, что
— и —— —. (11)
В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа разобьем функцию тока ty, аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока ф' возмущений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного, положив
<1=1/ооУ+Y; (12)
тогда, согласно (11), будем иметь:
Pco P /1 г I /\ ,Г
Pco дХ '
или, откидывая малые второго порядка:
и'-LJL- Vat-Jr-, ' Pco дУ
-о' = — XX-. , ox )
(13)
Освободимся в первом из этих равенств от р', выразив его через добавочную скорость и', согласно формуле Бернулли, переписанной, в силу уравнения изэнтропы, в виде:
1/2 .22_и —
« 9 • Poo ~
2 ^ft-J р 2 Tft- § 51] линеаризированный газовый ноток 327
Будем имегь, задавая константу на бесконечности,
(17OO + "')2 . /, , Р'\"~1 К, , al
