Квантовая химия. Введение - Фларри Р.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 3.5. Таблица характеров группы R(3)
Представления группы
R(3)
Операции группы E С(ф)
D0 D1 D1
1 1
3 1 + 2 cos ф
5 1 + 2 cos ф + 2 cos 2ф
D>
1
2/ + 1 1 + ? 2 cos кф
2 2 cos \ ф
4 2 cos j ф 4- 2 cos f ф
D'
J
2/4-1 ? 2 cos кф
В приложениях теории групп важную роль играют произведения неприводимых представлений. Характеры таких произведений— это просто произведения характеров индивидуальных представлений. Произведения представлений, которые не являются неприводимыми, могут быть разложены на неприводимые представления (выражены в виде их суммы). Для большинства групп установлены правила, избавляющие от выполнения этой процедуры. Для группы R(3) такое правило записывается следующим образом:
Di(S)DJ-=, Y D" Гз.88)
*=и-л
и называется правилом Клебша — Жордана.
Заметим, что для первого представления, указанного в табл. 3.5, оба характера равны +1. Каждая группа имеет одно
60
Глава З
представление, все характеры которого равны +1. Оно называется полносимметричным неприводимым представлением группы. Всякая функция или оператор, преобразующиеся по полносимметричному неприводимому представлению группы, остаются неизменными при любых операциях групп. Всякое скалярное свойство системы не изменяется при любой операции группы ее симметрии. Следовательно, скалярные свойства и операторы, описывающие их, должны преобразовываться по полносимметричному неприводимому представлению группы, описывающей эту систему.
В таблицу характеров группы R(3) входят только характеры тождественного преобразования и операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры; это означает, что группа содержит бесконечное число вращений C(<j>). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование E и операция вращения (иначе — собственного вращения) С(ф). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом і, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение S(<j>). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и S(<j>) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы.
В табл. 3.6 указаны характеры элементов группы 0(3). (Заметим, что Dg означает полносимметричное неприводимое представление.) Группа R(3) является подгруппой группы 0(3). Она содержит только тождественное преобразование E и операции С(ф). Ее таблица характеров совпадает с тремя первыми столбцами табл. 3.6. Индексы g и и не имеют смысла в группе R(3), поскольку эта группа не содержит инверсии.
Из табл. 3.5 или 3.6 видно, что представления с целочисленными значениями / (с нечетными размерностями) обладают не такими свойствами (и поэтому указаны отдельно), как представления с полуцелымн значениями / (с четными размерностями). Последние представления называются двузначными представлениями. Смысл этого названия становится понятным
Вращение и угловой момент
61
Таблица 3.6. Таблица характеров точечной группы 0(3)а
О(З)
E
С(ф)
І
(t
D]
Dl
1 3 5
1
1+2 cos ф 1+2 cos ф + 2 cos 2ф
1
3 5
1
1 — 2 cos ф 1 - 2 cos ф + 2 cos 2с>
1
-1 1
Di
Dl Dl Dl
2J+ 1
1 3
5
I
1 + E 2 cos кф i-i
1
2+2 cos ф 1 + 2 cos ф + 2 cos 2ф
2/ + 1
-1 -3 -5
1 + E (-1/12 cos
k-l
-1
— 1 + 2 cos ф -1 + 2 cos ф - 2 cos2<?>
-1 1 -1
Di DT
2J + 1
2 . 4
J
1 + E 2 cos кф
Jt-i
2 cos %ф
2 cosi</> + 2cos$c4
-(2/ + 1)
2 4
-1-Е (-Xf 2 cos кф
k-l
2 sini<? 2 sin-}^ — 2 sin f c/>
(-Dm
O O
Di
Dp
2J + 1
2 4
? 2 cos кф
l« 1/2
2 cos
2 cos ^ + 2cos.fc4
2/ + 1
-2
-4
E (-l)'-<1/2,2sinA-j!>
»-1/2
-2sini^ -2sini^ + 2sinfc4
O
O O
Dl
2J+1
E 2 cos кф
і» 1/2
E (~1)к+і1'1>2&Ьікф
»-1/2
O
a Первые три столбца этой таблицы [включая столбец с обозначениями неприводимых представлений, а также столбцы характеров операций E и С(Ф)], если не обращать внимания на индексы g и о, образуют таблицу характеров группы R(3).
из рассмотрения характеров х операций С(ф). Пусть представление D2 группы R(3) в том частном случае, когда угол ф равен 2я, имеет вид
X [С (2я)] = 1 + 2 cos (2я) + 2 cos (4я) = 5 = х (E) (3.89)
Как и следовало ожидать, вращение на угол 2я эквивалентно тождественному преобразованию. Теперь рассмотрим характер элемента с С(ф) в представлении D'i/2 при значении ф = 2л. В этом случае
